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電子課本網(wǎng) 第128頁(yè)

第128頁(yè)

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證明:?$(1)$?∵?$BE⊥AC$?,
∴?$∠BEC=∠BEA=90°.$?
∵?$BE$?平分?$∠ABC$?,
∴?$∠EBC=∠EBA.$?
在?$△CBE$?和?$△ABE$?中,
?$\begin {cases}{∠EBC=∠EBA}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEA}\end {cases}$?
∴?$△CBE≌△ABE(\mathrm {ASA})$?,
∴?$AE=CE.$?
?$(2)$?∵?$BE⊥AC$?,?$CD⊥AB$?,
∴?$∠CDA=∠BDF=∠BEA=90°$?,
∴?$∠EBA+∠A=90°$?,?$∠ACD+∠A=90°$?,
∴?$∠EBA=∠ACD.$?
在?$△BDF $?和?$△CDA$?中,
?$\begin {cases}{∠EBA=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA}\end {cases}$?
∴?$△BDF≌△CDA(\mathrm {ASA})$?,
∴?$BF=AC.$?
∵?$AE=CE$?,
∴?$AC=2CE$?,
∴?$BF=2CE.$?
證明:延長(zhǎng)$AD$至點(diǎn)$E,$使$DE = AD,$連接$BE。$
$\because AD$是$\triangle ABC$的中線,
$\therefore BD = CD。$
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中,
$\begin{cases} BD = CD \\ \angle BDE = \angle CDA \\ DE = DA \end{cases}$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle CDA(SAS)。$
$\therefore BE = AC。$
在$\triangle ABE$中,$AB + BE > AE。$
$\because AE = AD + DE = 2AD,$$BE = AC,$
$\therefore AB + AC > 2AD。$


$解:正確,理由如下:$
$ 在Rt△ADB與Rt△ADC中,$
$由勾股定理可得:AB^2-BD^2=AD^2,AC^2-CD^2=AD^2,$
$ ∴AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,$
$即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD).$
$∵AB+BD=AC+CD,$
$∴AB-BD=AC-CD,$
$兩式相加,得AB=AC,$
$∴△ABC為等腰三角形.$