解：?$(1)$?∵?$AD$?是?$△ABC$?的高
∴?$∠ADC=∠ADB=90°$?
∴?$∠FBD+∠BFD=90°$?
∵?$BE$?是?$△ABC$?的高，∴?$∠BEA=90°$?
∴?$∠AFE+∠DAC=90°$?
∵?$∠BFD=∠AFE，$?∴?$∠FBD=∠CAD$?
在?$△DAC$?和?$△DBE$?中
?$ \begin {cases}{∠DAC=∠DBF}\\{∠ADC=∠BDF}\\{DC=DF}\end {cases}$?
∴?$△DAC≌△ DBE(\mathrm {AAS})$?
∴?$BD=AD$?
∴?$ ABD$?為等腰直角三角形，∴?$∠ABC=45°$?
?$(2)CE+CG=BH，$?證明如下：
在?$HB$?上截取?$HM=CE，$?連接?$GM$?
∵?$BE$?是?$△ABC$?的高，?$GH⊥BH$?
∴?$∠H=∠BEC=90°，$??$∠BGH=90°-∠3$?
在?$△BEC$?和?$△GHM$?中
?$ \begin {cases}{GH=BE}\\{∠H=∠BEC=90°}\\{MH=CE}\end {cases}$?
∴?$△BEC≌△ GHM(S AS)$?
∴?$GM=BC，$??$∠1=∠2$?
由?$(2)$?可知：?$∠ABC=45°，$?即?$∠2+∠3=45°$?
∴?$∠BGM=∠BGH-∠1=90°-∠3-∠1$?
?$=90°-(∠3+∠2)=45°$?
∴?$∠BGM=∠ABC=45°，$?即?$∠BGM=∠G BC$?
在?$△BGM$?和?$△G BC$?中
?$ \begin {cases}{GM=BC}\\{∠BGM=∠G BC}\\{G B=BG}\end {cases}$?
∴?$△BGM≌△ G BC(S AS)$?
∴?$CG=MB$?
∴?$CE+CG=MH+MB=BH$?
