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電子課本網(wǎng) 第73頁(yè)

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直角
$\frac{60}{13}$
解:因?yàn)?\angle ABC=90^{\circ},$$AB=1,$$BC=2,$所以$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5,$則$AC=\sqrt{5}。$在$\triangle ACD$中,$AD=3,$$CD=2,$$AC=\sqrt{5},$因?yàn)?AC^{2}+CD^{2}=(\sqrt{5})^{2}+2^{2}=5 + 4=9=AD^{2},$所以$\angle ACD=90^{\circ}。$所以四邊形$ABCD$的面積為$S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1\times2}{2}+\frac{\sqrt{5}\times2}{2}=1+\sqrt{5}。$
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(1)證明:因?yàn)?DE\perp AC,$$CE=1,$$DE=2,$所以$CD^{2}=CE^{2}+DE^{2}=1^{2}+2^{2}=5。$因?yàn)?AE=4,$所以$AC=AE + CE=4 + 1=5,$$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}=4^{2}+2^{2}=20。$因?yàn)?AD^{2}+CD^{2}=20 + 5=25=AC^{2},$所以$\angle ADC=90^{\circ}。$
(2)解:因?yàn)?AD$是$\triangle ABC$的中線,所以$BD=DC,$由
(1)知$CD=\sqrt{5},$所以$BD=\sqrt{5}。$在$Rt\triangle ABD$中,$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=20 + 5=25,$則$AB=5。$因?yàn)?DF$是$\triangle ABD$的中線,所以$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}。$