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解：?$(1)$?∵?$a=7，$??$b=24，$??$c=25，$?且?$c $?為最長邊

?$a^2+b^2=7^2+24^2=49 + 576=625，$??$c^2=25^2=625$?

∴?$a^2+b^2=c^2，$?該三角形是直角三角形。

?$(2)$?∵?$a=2.5，$??$b=2，$??$c=1.5，$?且?$a$?為最長邊

?$b^2+c^2=2^2+1.5^2=4 + 2.25=6.25，$??$a^2=2.5^2=6.25$?

∴?$b^2+c^2=a^2，$?該三角形是直角三角形

?$(3)$?∵?$a=\frac 54，$??$b=1，$??$c=\frac 53，$?且?$c $?為最長邊

?$a^2+b^2=(\frac 54)^2+1^2=\frac {25}{16}+1=\frac {41}{16}，$??$c^2=(\frac 53)^2=\frac {25}9，$??$\frac {41}{16}\neq \frac {25}9$?

∴該三角形不是直角三角形

?$ (4)$?∵?$a=\sqrt 3，$??$b=\sqrt {^2}，$??$c=\sqrt 5，$?且?$c $?為最長邊

?$a^2+b^2=(\sqrt 3)^2+(\sqrt {^2})^2=3 + 2=5，$??$c^2=(\sqrt 5)^2=5$?

∴?$a^2+b^2=c^2，$?該三角形是直角三角形

 (1)證明：因為$AD\perp BC，$所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$是直角三角形。在$Rt\triangle ABD$中，$BD=1，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}=1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=1 + 8=9，$則$AB=3。$在$Rt\triangle ACD$中，$CD=8，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=8^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=64 + 8=72。$因為$BC=BD + CD=1 + 8=9，$所以$BC^{2}=81。$又因為$AB^{2}+AC^{2}=9 + 72=81=BC^{2}，$所以$\angle BAC=90^{\circ}。$

 (2)解：因為$\triangle ABP$為等腰三角形，分三種情況討論：

 ①當(dāng)$AB=BP$時，$AB=3，$所以$BP=3；$

 ②當(dāng)$AB=AP$時，在$Rt\triangle APD$中，$AP=AB=3，$$AD=2\sqrt{2}，$所以$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{9 - 8}=1，$則$BP=BD + PD=1 + 1=2；$

 ③當(dāng)$AP=BP$時，設(shè)$BP=x，$則$PD=x - 1，$在$Rt\triangle APD$中，$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}，$即$x^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(x - 1)^{2}，$解得$x=\frac{9}{2}。$

 綜上，$BP$的長為$2$或$3$或$\frac{9}{2}。$

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