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$c^2 - 2ab$

解：?$(1)$?在?$Rt?CDB$?中，?$CD^2 + DB^2 = BC^2，$??$DB=9，$??$BC=15$?

∴?$CD^2=15^2 - 9^2=225 - 81=144$?

∴?$CD=12$?

?$(2)$?在?$Rt?CDA$?中，?$AD^2 + CD^2 = AC^2，$??$AC=20，$??$CD=12$?

則?$AD^2=20^2 - 12^2=400 - 144=256$?

∴?$AD=16，$?∴?$AB=AD + DB=16 + 9=25$?

解：?$AC=\sqrt {AB^2 + BC^2}=\sqrt {6^2 + 8^2}=10$?

設(shè)?$EB=EB'=x，$??$EC=8 - x$?

由折疊知?$∠AB'E=∠B=90°，$??$AB'=AC - B'C=10 - B'C$?

在?$Rt?AB'E$?中，?$(10 - B'C)^2 + x^2=6^2 + x^2$?

得?$10 - B'C=6，$??$B'C=4$?

在?$Rt?EB'C$?中，?$x^2 + 4^2=(8 - x)^2，$?解得?$x=3$?

∴?$EB'=3$?

?$(1)$?證明：∵?$∠ACB = ∠ADB = 90°，$??$M $?是?$ AB $?的中點

∴?$Rt?ABC $?中，?$CM = \frac 12\ \mathrm {A}B，$??$Rt?ABD $?中，?$DM = \frac 12\ \mathrm {A}B$?

∴?$MC = MD$?

又∵?$N $?是?$ CD $?的中點，∴?$MN⊥CD$?

?$(2)$?解：∵?$AB = 50，$?∴?$MD = \frac 12×50 = 25$?

∵?$CD = 48，$?∴?$ND = \frac 12×48 = 24$?

又∵?$MN⊥CD$?

∴?$MN = \sqrt {MD^2-ND^2} = \sqrt {25^2-24^2} = 7$?

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