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第167頁

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$證明:(1)∵∠B=∠ACD$

$∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC$

$\ ∠B=∠E$

$∴∠BAC=∠DCE$

$在△ABC和△CED中$

$\begin{cases}{∠B=∠E\ } \\ { ∠BAC=∠ECD} \\{ AC=CD} \end{cases}$

$∴△ABC≌△CED(AAS),∴BC=DE$

$(2)在AB上截取AF=DF,連接DF,如圖$

$∵∠DAN=30°, ∴∠DAN=∠ADF=30°,∴∠DFN=60°=∠B$

$∵∠ANM=∠AND+∠DNM=∠BMN+∠B$

$且∠DNM=∠B=60°$

$∴∠AND=∠BMN$

$在△FDN和△BNM中$

$\begin{cases}{∠DFN=∠B\ } \\ {∠DNF=∠NMB\ } \\{ DN=NM} \end{cases}$

$∴△FDN≌△BNM(AAS),∴FD=BN,FN=BM,∴AF=BN$

$∵AB=AF+FN+BN,∴AB=BN+BM+BN,即AB=2BN+BM$

$(3)∠EBF的度數(shù)不發(fā)生變化,∠EBF=30°,求解如下:$

$如圖,在 BC上截取BM=CF,連接EM$

$∵AD=2CF=BM+CF,且AC=BC,∴CD=FM$

$∵△DEF是等邊三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°$

$∵∠DFM=∠CDF+∠C=∠MFE+∠DFE,且∠C=∠DFE=60°$

$∴∠CDF=∠MFE,∴△DFC≌△FEM(SAS)$

$∴∠FME=∠C=60°,EM=CF$

$∵BM=CF,∴BM=EM,∴∠EBF=30°$

$證明:(1)∵AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°$

$又∵CF⊥ CA,∴∠ACD+∠FCB=90°$

$∴∠FCB=∠CAD$

$(2)2CM=2AD+AE,證明如下:連接BE$

$∵AD⊥BC,∠ABC= 45°,∴∠BAD=∠ABC=45°,∴BD=AD$

$在△BDE和△ADC中$

$\begin{cases}{ BD=AD} \\ { ∠BDE=∠ADC} \\{ DE=DC} \end{cases}$

$∴△BDE≌△ADC(SAS),∴∠EBD=∠CAD,BE=AC$

$又∵∠FCB=∠CAD,AC=CF,∴∠EBD=∠FCB,BE=CF$

$在△BME和△CMF中$

$\begin{cases}{∠EBD=∠FCB\ } \\ {∠EMB=∠FMC\ } \\{ BE=CF} \end{cases}$

$∴△BME≌△CMF(AAS),∴CM=BM=\frac{1}{2}BC,即BC=2CM$

$∵BC=BD+CD,BC=AD+DE=AD+AD+AE$

$∴2CM=2AD+AE$

$(3)CD\gt 3或0\lt CD\lt \frac {1}{3}$

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