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電子課本網(wǎng) 第25頁

第25頁

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$2<AD<10$
證明:延長$FD$至點$M,$使$DM = DF,$連接$BM,$$EM。$
因為$D$是$BC$邊上的中點,所以$BD = CD。$
在$\triangle BDM$和$\triangle CDF$中,
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDM=\angle CDF\\DM = DF\end{cases}$
所以$\triangle BDM\cong\triangle CDF(SAS),$則$BM = CF。$
因為$DE\perp DF,$$DM = DF,$所以$EM = EF。$
在$\triangle BME$中,由三角形的三邊關(guān)系,得$BE + BM>EM,$所以$BE + CF>EF。$
證明:過點$B$作$BF// AC,$交$CE$的延長線于點$F。$
因為$CE$是$\triangle ABC$的中線,$BF// AC,$所以$AE = BE,$$\angle BAC=\angle ABF,$$\angle ACE=\angle F。$
在$\triangle ACE$和$\triangle BFE$中,
$\begin{cases}\angle EAC=\angle EBF\\\angle ACE=\angle F\\AE = BE\end{cases}$
所以$\triangle ACE\cong\triangle BFE(AAS),$所以$CE = EF,$$AC = BF,$所以$CF = 2CE。$
因為$\angle ACB=\angle ABC,$作$AG\perp BC$于點$G,$易證$\triangle ACG\cong\triangle BAG,$所以$AC = AB。$
又$CB$是$\triangle ADC$的中線,所以$AC = AB = BD = BF。$
因為$\angle DBC=\angle BAC+\angle ACB=\angle ABF+\angle ABC,$所以$\angle DBC=\angle FBC。$
在$\triangle DBC$和$\triangle FBC$中,
$\begin{cases}DB = FB\\\angle DBC=\angle FBC\\BC = BC\end{cases}$
所以$\triangle DBC\cong\triangle FBC(SAS),$所以$CD = CF = 2CE。$
證明:在$CD$上截取$JD = DE,$連接$JA,$過點$A$作$AI\perp CD$于$I,$$AH\perp BC$于$H,$則$\angle AIJ=\angle AHB = 90^{\circ}。$
因為$DA$平分$\angle CDE,$所以$\angle ADC=\angle ADE。$
在$\triangle AJD$與$\triangle AED$中,
$\begin{cases}JD = DE\\\angle ADC=\angle ADE\\AD = AD\end{cases}$
所以$\triangle AJD\cong\triangle AED(SAS),$所以$AE = AJ,$$\angle AJD=\angle E。$
又$AB = AE,$所以$AB = AJ。$
因為$\angle B+\angle E = 180^{\circ},$$\angle AJD+\angle AJC = 180^{\circ},$所以$\angle B=\angle AJC。$
在$\triangle AJI$與$\triangle ABH$中,
$\begin{cases}\angle AIJ=\angle AHB\\\angle AJI=\angle B\\AJ = AB\end{cases}$
所以$\triangle AJI\cong\triangle ABH(AAS),$所以$AI = AH,$$BH = IJ。$
在$Rt\triangle AIC$與$Rt\triangle AHC$中,
$\begin{cases}AI = AH\\AC = AC\end{cases}$
所以$Rt\triangle AIC\cong Rt\triangle AHC(HL),$所以$HC = IC。$
所以$BC + DE=BH + HC+DE=IJ + CI+JD = CD,$即$BC + DE = CD。$