證明:在$CD$上截取$JD = DE,$連接$JA,$過點$A$作$AI\perp CD$于$I,$$AH\perp BC$于$H,$則$\angle AIJ=\angle AHB = 90^{\circ}。$
因為$DA$平分$\angle CDE,$所以$\angle ADC=\angle ADE。$
在$\triangle AJD$與$\triangle AED$中,
$\begin{cases}JD = DE\\\angle ADC=\angle ADE\\AD = AD\end{cases}$
所以$\triangle AJD\cong\triangle AED(SAS),$所以$AE = AJ,$$\angle AJD=\angle E。$
又$AB = AE,$所以$AB = AJ。$
因為$\angle B+\angle E = 180^{\circ},$$\angle AJD+\angle AJC = 180^{\circ},$所以$\angle B=\angle AJC。$
在$\triangle AJI$與$\triangle ABH$中,
$\begin{cases}\angle AIJ=\angle AHB\\\angle AJI=\angle B\\AJ = AB\end{cases}$
所以$\triangle AJI\cong\triangle ABH(AAS),$所以$AI = AH,$$BH = IJ。$
在$Rt\triangle AIC$與$Rt\triangle AHC$中,
$\begin{cases}AI = AH\\AC = AC\end{cases}$
所以$Rt\triangle AIC\cong Rt\triangle AHC(HL),$所以$HC = IC。$
所以$BC + DE=BH + HC+DE=IJ + CI+JD = CD,$即$BC + DE = CD。$