證明：(1)連接$OC。$
因?yàn)?PC$與半圓相切于點(diǎn)$C，$
所以$OC\perp PC，$則$∠OCD = 90°，$即$∠DCE+∠ACO = 90°。$
因?yàn)?OA = OC，$
所以$∠OAC=∠ACO。$
因?yàn)?DC = DE，$
所以$∠DCE=∠DEC。$
又因?yàn)?∠DEC=∠AEO，$
所以$∠OAC+∠AEO = 90°。$
在$\triangle AOE$中，$∠AOE = 180°-(∠OAC+∠AEO)=180°-90°=90°，$
所以$OD\perp AB。$
(2)設(shè)$OE = x。$
因?yàn)?OA = 2OE，$所以$OA = OF = OC = OB = 2x，$
則$EF=OF - OE=2x - x=x。$
因?yàn)?DF = 2，$
所以$DC = DE=x + 2，$$OD=OF + DF=2x + 2。$
在$Rt\triangle OCD$中，由勾股定理，得$OC^{2}+CD^{2}=OD^{2}，$
即$(2x)^{2}+(x + 2)^{2}=(2x + 2)^{2}。$
展開(kāi)式子得：$4x^{2}+x^{2}+4x + 4 = 4x^{2}+8x + 4。$
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：$x^{2}-4x = 0，$即$x(x - 4)=0。$
解得$x_{1}=4，$$x_{2}=0$（不合題意，舍去）。
所以$AB=OA + OB=4x = 16。$
