解：?$(1)$?因?yàn)?$CD$?為圓的直徑，
所以?$∠CAD = 90°。$?
因?yàn)?$∠AFE=∠ADC，$??$∠AFE = 60°，$?
所以?$∠ADC = 60°。$?
因?yàn)?$\triangle ADC$?的內(nèi)角和為?$180°，$?
所以?$∠ACD = 180°-90°-60°=30°。$?
因?yàn)?$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{AD}，$?
所以?$∠ABD=∠ACD = 30°。$?
證明：?$(2)①$?因?yàn)樗倪呅?$ABCD$?是圓內(nèi)接四邊形，
所以?$∠ABC+∠ADC = 180°。$?
因?yàn)?$∠AFE=∠ADC，$?
所以?$∠ABC+∠AFE = 180°，$?所以?$EF// BC。$?
②證明：如圖，過點(diǎn)?$D$?作?$DG// BC，$?交圓于點(diǎn)?$G，$?連接?$AG、$??$CG。$?
因?yàn)?$DG// BC，$?
所以?$∠BCD=∠GDC，$?
所以?$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CG}，$?
所以?$BD = CG。$?
因?yàn)樗倪呅?$ACGD$?是圓內(nèi)接四邊形，
所以?$∠ACG+∠ADG = 180°。$?
因?yàn)?$∠EDG+∠ADG = 180°，$?
所以?$∠EDG=∠ACG。$?
因?yàn)?$EF// BC，$??$DG// BC，$?
所以?$EF// DG，$?
所以?$∠AEF=∠EDG，$?
所以?$∠AEF=∠ACG。$?
因?yàn)?$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$?
所以?$∠ADC=∠AGC。$?
因?yàn)?$∠AFE=∠ADC，$?
所以?$∠AFE=∠AGC。$?
在?$\triangle AEF $?和?$\triangle ACG_{中}，$??$\begin {cases}∠AFE=∠AGC\\∠AEF=∠ACG\\AE = AC\end {cases}，$?
所以?$\triangle AEF\cong \triangle ACG(\mathrm {AAS})，$?
所以?$EF = CG，$?
所以?$EF = BD。$?
