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$\frac{180^{\circ}}{n}+\frac{(n - 1)\alpha}{n}$

解：?$(1) $?因?yàn)?$ BO_{1}，CO_{1} $?分別平分?$ ∠ABC，$?

?$∠ACB ，$?

所以?$ ∠ABC = 2∠O_{1}BC ，$??$ ∠ACB = 2∠O_{1}CB ，$?

所以?$ 2(∠O_{1}BC+∠O_{1}CB)=∠ABC+∠ACB 。$?

因?yàn)?$ ∠A=α，$?

所以?$ ∠ABC+∠ACB = 180°-α，$?

所以?$ ∠BO_{1}C = 180°-(∠O_{1}BC+∠O_{1}CB)$?

?$=180°-\frac {1}{2}(180°-α)=90°+\frac {1}{2}α。$?

?$(2) $?因?yàn)?$ ∠ABC，∠ACB $?的兩條三等分線分別對(duì)應(yīng)

交于?$ O_{1}，O_{2} ，$?

所以?$ ∠O_{2}BC=\frac {2}{3}∠ABC ，$??$ ∠O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ACB ，$?

所以?$ ∠O_{2}BC+∠O_{2}CB=\frac {2}{3}∠ABC+\frac {2}{3}∠ACB$?

?$=\frac {2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac {2}{3}(180°-α) ，$?

所以?$ ∠BO_{2}C = 180°-(∠O_{2}BC+∠O_{2}CB)$?

?$=180°-\frac {2}{3}(180°-α)=60°+\frac {2}{3}α。$?

解：?$ ∠BEC = 90°-\frac {1}{2}∠A。$?

理由如下：

因?yàn)?$∠CBD+∠ABC=∠A+∠ACB+∠ABC，$?

所以?$∠CBD=∠A+∠ACB。$?

因?yàn)?$BE$?平分?$∠CBD，$?

所以?$∠EBC=\frac {1}{2}∠CBD=\frac {1}{2}(∠A+∠ACB)。$?

同理，?$∠ECB=\frac {1}{2}(∠A+∠ABC)。$?

所以?$∠BEC = 180°-∠EBC-∠ECB $?

?$= 180°-\frac {1}{2}(∠A+∠ACB)-\frac {1}{2}(∠A+∠ABC)$?

?$=180°-\frac {1}{2}∠A-\frac {1}{2}(∠A+∠ABC+∠ACB)$?

?$=90°-\frac {1}{2}∠A。$?

$\frac{1}{3^n}m$

$157.5^{\circ}-\frac{1}{8}\alpha$

解：?$ (1)OC\perp OD。$?

理由如下：因?yàn)槿切蔚娜龡l角平分線交于點(diǎn)?$O，$?

所以?$∠AOB = 180°-\frac {1}{2}(∠BAC+∠ABC)$?

?$=180°-\frac {1}{2}(180°-∠ACB)=90°+\frac {1}{2}∠ACB。$?

因?yàn)?$∠AOB=∠ODB=∠COD+∠OCD，$?

所以?$90°+\frac {1}{2}∠ACB=∠COD+∠OCD。$?

又因?yàn)?$∠OCD=\frac {1}{2}∠ACB，$?

所以?$∠COD = 90°。$?

所以?$OC\perp OD。$?

?$ (2)$?因?yàn)?$CF $?平分?$∠ACE，$??$CO$?平分?$∠ACB，$?

所以?$∠ACO=\frac {1}{2}∠ACB，$??$∠ACF=\frac {1}{2}∠ACE。$?

所以?$∠ACO+∠FCA=\frac {1}{2}(∠ACB+∠ACE)$?

?$=\frac {1}{2}×180°=90°，$?即?$∠FCO = 90°。$?

因?yàn)?$∠COD = 90°，$?

所以?$∠FCO=∠COD。$?

所以?$CF// OD。$?

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