解：?$ (1)$?如圖?$①，$?由三角形外角的性質(zhì)，得
?$∠α=∠1+∠D，$??$∠β=∠4+∠F，$?
所以?$∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F。$?
?$ $?又?$∠1=∠2，$??$∠3=∠4，$??$∠2+∠3 = 90°，$?
所以?$∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F$?
?$=∠2+∠3+30°+90°=210°。$?
?$ (2)$?如圖?$②，$?由三角形的外角性質(zhì)，得
?$∠1=∠A+∠C，$??$∠2=∠B+∠D，$?
因?yàn)?$∠BOF = 120°，$?
所以?$∠3=180°-120°=60°。$?
由三角形內(nèi)角和定理，得
?$∠E+∠1=180°-60°=120°，$?
?$∠F+∠2=180°-60°=120°，$?
所以?$∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，$?
即?$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°。$?
