解：?$ (1)$?解不等式組?$\begin {cases}1 - 2x＜5\\\dfrac {3x - 1}{2}\leq 4\end {cases}，$?
解?$1 - 2x＜5$?得?$x＞-2；$?
解?$\frac {3x - 1}{2}\leq 4$?得?$x\leq 3。$?
所以不等式組的解集為?$-2＜x\leq 3。$?
解不等式?$x + 1＞m，$?得?$x＞m - 1，$?
解不等式?$x - 1\leq n，$?得?$x\leq n + 1。$?
由題意得?$m - 1 = - 2，$??$n + 1 = 3，$?
解得?$m = - 1，$??$n = 2，$?
所以?$m + n = - 1 + 2 = 1。$?
?$(2)①$?當?$m = - 1$?時，關(guān)于?$x$?的不等式組
?$\begin {cases}x + 1＞m\\x - 1\leq n\end {cases}$?的解集為?$-2＜x\leq n + 1。$?
因為不等式組恰好有?$4$?個整數(shù)解，
所以?$4$?個整數(shù)解是?$-1，$??$0，$??$1，$??$2，$?
所以?$2\leq n + 1＜3，$?即?$1\leq n＜2。$?
?$②$?當?$n = 2m $?時，關(guān)于?$x$?的不等式組?$\begin {cases}x + 1＞m\\x - 1\leq n\end {cases}$?的
解集為?$m - 1＜x\leq 2m + 1，$?
?$2m + 1-(m - 1)=m + 2。$?
因為不等式組恰好有?$4$?個數(shù)解，
所以?$3＜m + 2＜5，$?解得?$1＜m＜3，$?
所以?$0＜m - 1＜2，$??$3＜2m + 1＜7。$?
當?$0＜m - 1＜1，$?即?$1＜m＜2$?時，
必須滿足?$4\leq 2m + 1＜5，$?所以?$\frac {3}{2}\leq m＜2。$?
當?$1\leq m - 1＜2，$?即?$2\leq m＜3$?時，
必須滿足?$5\leq 2m + 1＜6，$?所以?$2\leq m＜\frac {5}{2}。$?
綜上，?$\frac {3}{2}\leq m＜\frac {5}{2}。$?
