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第29頁

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解：根據(jù)題意，對于一元二次方程$x^{2}-2x + p - 1 = 0，$$\Delta=(-2)^{2}-4(p - 1)\geqslant0，$
即$4 - 4p + 4\geqslant0，$
化簡得$8 - 4p\geqslant0，$
移項得$4p\leqslant8，$
解得$p\leqslant2。$
由韋達定理得$a + b = 2，$$ab = p - 1\geqslant0，$解得$p\geqslant1，$所以$1\leqslant p\leqslant2。$
因為$(a - 1)(b - 1)=ab - a - b + 1=ab-(a + b)+1，$
將$a + b = 2，$$ab = p - 1$代入得$(a - 1)(b - 1)=p - 1 - 2 + 1=p - 2。$
當(dāng)$p = 1$時，$(a - 1)(b - 1)$取得最小值，最小值為$1 - 2=-1；$
當(dāng)$p = 2$時，$(a - 1)(b - 1)$取得最大值，最大值為$2 - 2 = 0。$
解：(1)對于方程$x^{2}-2x + m - 2 = 0，$其中$a = 1，$$b = - 2，$$c = m - 2。$
根據(jù)根的判別式$?=b^{2}-4ac，$可得$?=(-2)^{2}-4×1×(m - 2)=4 - 4m + 8=12 - 4m。$
因為方程有兩個實數(shù)根，
所以$?\geqslant0，$即$12 - 4m\geqslant0，$
移項得$4m\leqslant12，$
解得$m\leqslant3。$
(2)由韋達定理得$x_{1}+x_{2}=2，$$x_{1}x_{2}=m - 2。$
所以$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=3(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=3×2-(m - 2)=6 - m + 2=-m + 8。$
因為$m\leqslant3，$
所以當(dāng)$m = 3$時，$-m + 8$取得最小值，最小值為$-3 + 8 = 5。$
解：?$(1)$?對于方程?$x^2-(m + 2)x + m - 1 = 0，$?其中?$a = 1，$??$b = -(m + 2)，$??$c = m - 1。$?
?$ ?=b^2-4ac=[-(m + 2)]^2-4×1×(m - 1)=\mathrm {m^2}+4m + 4 - 4m + 4=\mathrm {m^2}+8。$?
?$ $?因為?$\mathrm {m^2}\geqslant 0，$?
所以?$\mathrm {m^2}+8＞0，$?即?$?＞0，$?
?$ $?所以無論?$m{取何值}，$?方程都有兩個不相等的實數(shù)根。
?$(2)$?因為方程?$x^2-(m + 2)x + m - 1 = 0$?的兩個實數(shù)根為?$x_{1}、$??$x_{2}，$?
?$ $?由韋達定理得?$x_{1}+x_{2}=m + 2，$??$x_{1}x_{2}=m - 1。$?
?$ $?因為?$x_{1}^2+x_{2}^2-x_{1}x_{2}=9，$?
根據(jù)完全平方公式?$x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}，$?
?$ $?所以?$(x_{1}+x_{2})^2-3x_{1}x_{2}=9，$?
?$ $?將?$x_{1}+x_{2}=m + 2，$??$x_{1}x_{2}=m - 1$?代入得?$(m + 2)^2-3(m - 1)=9，$?
?$ $?展開得?$\mathrm {m^2}+4m + 4 - 3m + 3 = 9，$?
?$ $?整理得?$\mathrm {m^2}+m - 2 = 0，$?
?$ $?因式分解得?$(m + 2)(m - 1)=0，$?
?$ $?則?$m + 2 = 0$?或?$m - 1 = 0，$?
?$ $?解得?$m_{1}=-2，$??$m_{2}=1。$?
?$ $?所以?$m $?的值為?$-2$?或?$1。$?
解：?$(1)①$?當(dāng)?$k - 1 = 0，$?即?$k = 1$?時，方程為一元一次方程?$2x + 2 = 0，$?
?$ $?移項得?$2x=-2，$?解得?$x=-1。$?所以當(dāng)?$k = 1$?時，原方程有一個實數(shù)根。
?$ ②$?當(dāng)?$k - 1\neq 0，$?即?$k\neq 1$?時，方程為一元二次方程。
?$ $?對于方程?$(k - 1)x^2+2kx + 2 = 0，$?其中?$a = k - 1，$??$b = 2k，$??$c = 2。$?
?$ ?=b^2-4ac=(2k)^2-4×2×(k - 1)=4k^2-8k + 8=4(k^2-2k + 2)=4[(k - 1)^2+1]。$?
?$ $?因為?$(k - 1)^2\geqslant 0，$?
所以?$(k - 1)^2+1＞0，$?則?$4[(k - 1)^2+1]＞0，$?即?$?＞0，$?方程有兩個不相等的實數(shù)根。
綜上所述，無論?$k$?為何值，方程總有實數(shù)根。
?$(2)$?能。因為?$x_{1}、$??$x_{2}$?是方程?$(k - 1)x^2+2kx + 2 = 0$?的兩個實數(shù)根，
?$ $?由韋達定理得?$x_{1}+x_{2}=\frac {-2k}{k - 1}，$??$x_{1}x_{2}=\frac {2}{k - 1}。$?
?$ $?令?$S = x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) = 1，$?
?$ $?則?$\frac {2}{k - 1}+\frac {2k}{k - 1}=1，$?
?$ $?方程兩邊同乘?$k - 1$?得?$2 + 2k = k - 1，$?
?$ $?移項得?$2k - k=-1 - 2，$?
?$ $?解得?$k=-3。$?
經(jīng)檢驗，當(dāng)?$k = - 3$?時，?$k - 1=-3 - 1=-4\neq 0，$?
所以?$k = - 3$?是分式方程的解，且符合題意。
?$ $?所以?$k$?的值為?$-3。$?
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