解：?$ (1)$?因為通過園區(qū)現(xiàn)場采摘和果品市
場銷售的枇杷，數(shù)量之比為?$3：5，$?所以
設(shè)通過園區(qū)現(xiàn)場采摘銷售?$3x$?千克枇杷，
通過果品市場銷售?$5x$?千克枇杷，設(shè)通過
網(wǎng)絡(luò)銷售的枇杷數(shù)量為?$y$?千克，
由題意得?$\begin {cases}y=\dfrac {5x}{2}+350\\3x×18 + 5x×14 + 16y = 38400\end {cases}，$?
解得：?$\begin {cases}{x=200}\\{y=850}\end {cases}$?
?$ $?所以?$3x = 600，$??$5x = 1000，$?
所以通過園區(qū)現(xiàn)場采摘銷售?$600$?千克枇杷，通過
果品市場銷售?$1000$?千克枇杷。
?$ (2)$?設(shè)在五月第?$2$?周里，枇杷種植園可能銷售了
?$m $?千克枇杷，則通過果品市場銷售的枇杷數(shù)量
為?$\frac {7}{20}m。$?因為網(wǎng)絡(luò)銷售更加紅火，銷售數(shù)量是
第?$1$?周里網(wǎng)絡(luò)銷售數(shù)量的?$2$?倍少?$400$?千克，所以
網(wǎng)絡(luò)銷售數(shù)量為?$850×2 - 400 = 1300($?千克?$)，$
?所以園區(qū)現(xiàn)場采摘銷售數(shù)量為
?$m-\frac {7}{20}m - 1300=\frac {13}{20}m - 1300($?千克?$)，$?
由題意得?
$18×(\frac {13}{20}m - 1300)+\frac {7}{20}m×14 + 16×1300\leq 31181，$?
解得：?$m\leq 2035。$?
因為各種銷售渠道的銷售數(shù)量均為正整數(shù)，
所以?$m $?為?$20$?的倍數(shù)，
所以當?$m = 2020$?時，
?$\frac {7}{20}m = 707，$??$\frac {13}{20}m - 1300 = 13，$?滿足題意，
所以在五月第?$2$?周里，枇杷種植園可能銷售了
?$2020$?千克枇杷。
