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第56頁

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?$解:因為?ABCD?為正方形$?
?$所以?AB=AD?$?
?$因為?DF=BE，∠B=∠ADF=90°?$?
?$所以?△ADF≌△ABE?$?
?$所以?∠DAF=∠EAB，AE=AF?$?
?$因為?∠EAB+∠DAE=90°?$?
?$所以?∠DAF+∠DAE=90°?$?
?$所以?EF=\sqrt {AF2+AE2}=\sqrt {2}?$?

?$證明:因為?CD?平分?∠ACB，?? DE⊥AC，??DF⊥BC?$?
?$所以?DE=DF，??∠DFC= ∠DEC=90°?$?
?$又因為?∠ACB= 90°?$?
?$所以四邊形?DECF?是矩形$
$因為DE=DF$
$所以四邊形DECF是正方形。?$
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?$證明：? (1)?過點?D?作?DM⊥AB?于點?M，?$?
?$過點?B?作?BN⊥AD?于點?N ?$?
?$由題意得?CD//AB，??AD//BC?$?
?$所以四邊形?ABCD?是平行四邊形$?
?$因為這兩個矩形紙片的寬相等$?
?$所以?DM=BN?$?
?$因為?DM⊥AB，??BN⊥CD?$?
?$所以?∠AMD=∠ANB=90°?$?
?$在?△ADM?和?△ABN?中$?
?$?\begin {cases}{∠AMD=∠ANB }\\{∠A=∠A} \\{DM=BN} \end {cases}?$?
?$所以?△ADM≌△ABN(\mathrm {AAS})?$?
?$所以?AD=AB?$?
?$因為四邊形?ABCD?是平行四邊形$?
?$所以四邊形?ABCD?是菱形$?
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