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$證明: ∵ 四邊形? A B C D ?是菱形,$

$?∠A D C=120°， ?$

$∴?A D / / B C， C D=C B， ?$

$∴?∠B C D=180°-∠A D C=60°， ?$

$∴?\triangle B C D \text { 是等邊三角形, } ?$

$∴?∠B D C=60°， ?$

$∴?∠F B C=∠B C D+∠B D C=120° ?$

$∴?∠E D C=∠F B C，?$

$在? \triangle E D C ?和? \triangle F B C ?中,$

$?\begin {cases}{C D=C B }\\{∠E D C=∠F B C， }\\{D E=B F}\end {cases}?$

$∴?\triangle E D C \cong \triangle F B C(S A S)， ?$

$∴?C E=C F， ∠D C E=∠B C F， ?$

$∵?∠E C F=∠B C E+∠B C F?$

$ ∴?\triangle E F C ?是等邊三角形.$

$證明：? (1)?連接?BD，??AF，??ED?$

$因為四邊形?ABCD?是菱形.$

$所以?AC⊥BD?$

$因為?EF⊥AC?$

$所以?BD// EF?$

$因為?AB// CF?$

$所以四邊形?BEFD?為平行四邊形$

$所以?BE=DF?$

$因為點?E?是?AB?的中點$

$所以?AE=BE?$

$所以?AE=DF?$

$因為?AE//DF?$

$所以四邊形?AFDE?是平行四邊形$

$所以?AM=DM?$

$?(2)?因為?DF=AE?$

$所以?AE=2?$

$所以?AB=2AE=4?$

$所以菱形的周長為?16?$

$證明?： (1)?因為四邊形?ABCD?是菱形$

$所以?AD//BC，??AD=BC?$

$因為?BE=CF?$

$所以?EF=CE+CF=CE+BE=BC ?$

$所以?EF=AD?$

$因為?AD//BC?$

$所以四邊形?AEFD?是平行四邊形$

$因為?AE⊥BC?$

$所以?∠AEF=90°?$

$所以四邊形?AEFD?是矩形$

$?(2)?因為四邊形?ABCD?是菱形$

$所以?AB=BC=AD=5，?? OA=OC?$

$所以?BE=BC-CE=3?$

$因為?AE⊥BC?$

$所以?AE=\sqrt {AB2-BE2}=4?$

$所以?AC=\sqrt {AE2+ CE2}=\sqrt {20}=2\sqrt {5}?$

$因為?OA=OC?$

$所以?OE= OA=OC=\frac {1}{2}AC=\sqrt {5}?$

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