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$證明?： (1)?因為?△OAD?是等腰三角形$

$所以?OA=AD，??∠OAD=90°?$

$因為點?E?為矩形的對角線交點$

$所以點?E?是?BD?的中點$

$因為?OB=OD?$

$所以?OE⊥BD?$

$所以?∠OED=90°?$

$因為?∠OFA=∠DFE，∠OAD=∠DEF?$

$所以?∠FOA=∠FDE?$

$在?△OAF ?和?△DAB?中$

$?\begin {cases}{∠FOA=∠FDE}\\{AO=AD} \\{∠OAF=∠DAB} \end {cases}?$

$所以?△OAF≌△DAB(\mathrm {ASA})?$

$?(2)?連接?BF?$

$因為?△OAF≌△DAB?$

$所以?AF= AB?$

$所以?△ABF?為等腰直角三角形$

$因為?OE?為線段?BD?的垂直平分線$

$所以?BF=DF?$

$所以?\frac {DF}{AF}=\frac {BF}{AF}=\sqrt {2}?$

$證明:因為?∠BAD=∠CAE?$

$所以?∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC?$

$所以?∠CAD=∠BAE?$

$在?△AEB?和?△ADC?中$

$?\begin {cases}{AE=AD }\\{∠BAE=∠CAD} \\{AB=AC} \end {cases}?$

$所以?△AEB≌△ADC(\mathrm {SAS})?$

$所以?BE=CD，?? ∠BEA=∠CDA?$

$因為?DE=BC?$

$所以四邊形?BCDE?是平行四邊形$

$所以?∠BED+∠EDC= 180°?$

$因為?∠BEA=∠CDA，?? ∠AED=∠ADE?$

$所以?∠BED=∠EDC?$

$所以?∠BED=∠EDC=90°?$

$所以平行四邊形?BCDE?是矩形$

$解：? (1)\ \mathrm {EO}=FO，?理由:$

$因為?MN//BC?$

$所以?∠OEC=∠BCE，?? ∠OFC=∠GCF?$

$因為?CE?平分?∠BCO，??CF ?平分?∠GCO?$

$所以?∠OCE=∠BCE，??∠OCF=∠GCF?$

$所以?∠OCE=∠OEC，?? ∠OCF=∠OFC?$

$所以?EO=CO，??FO=CO?$

$所以?EO=FO?$

$?(2)?當點?O?運動到?AC?的中點時，四邊形?AECF?是矩形$

$因為當點?O?運動到?AC?的中點時，?AO=CO?$

$又因為?EO=FO?$

$所以四邊形?AECF?是平行四邊形$

$因為?FO=CO?$

$所以?AO=CO=EO=FO?$

$所以?AO+CO=EO+FO?$

$即?AC=EF?$

$所以四邊形?AECF?是矩形$

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