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$證明：∵O為AC中點(diǎn)，$

$∴OA=OC，$

$∵AE=CF，$

$∴OE=OF，$

$∵DF∥BE，$

$∴∠E=∠F，$

$在△BOE和△DOF中，$

$∠E=∠F$

$OE=OF$

$∠BOE=∠DOF$

$∴△BOE和△DOF（ASA），$

$∴OB=OD，$

$又∵OA=OC，$

$∴四邊形ABCD是平行四邊形．$

$證明?： (1) ?∵ 四邊形? A B C D ?是平行四邊形,$

$∴?A B=C D， A B / / C D， ?$

$∴?∠A B E=∠C D F， ?$

$∵?A M=C N， ?$

$∴?A M+A B=C N+C D，?$

$?\text { 即 } B M=D N \text {, }?$

$在? \triangle B E M ?和? \triangle D F N ?中,$

$?\begin {cases}{B M=D N }\\{∠M B E=∠N D F， }\\{B E=D F}\end {cases}?$

$?(2)?由?(1)?知?： \triangle B E M \cong \triangle D F N ，?$

$∴?E M=F N， ∠B E M=∠D F N， ?$

$∴?180°-∠B E M=180°-∠D F N， ?$

$∴?∠M E F=∠N F E， ?$

$∴?M E / / F N， ?$

$∵?E M=F N，?$

$ ∴ 四邊形? M E N F ?是平行四邊形.$

$解:四邊形?BMDN?是平行四邊形$

$理由:因?yàn)樗倪呅?ABCD?是平行四邊形$

$所以?AB//CD，??AB=CD?$

$所以?∠BAM=∠DCN?$

$因?yàn)?BM⊥AC，??DN⊥AC?$

$所以?∠AMB=∠CND= 90°?$

$所以?BM//DN?$

$在?△ABM?和?△CDN?中$

$?\begin {cases}{∠AMB=∠CND }\\{∠BAM=∠DCN} \\{AB=CD} \end {cases}?$

$所以?△ABM≌△CDN(\mathrm {AAS})?$

$所以?BM=DN?$

$因?yàn)?BM//DN?$

$所以四邊形?BMDN?是平行四邊形$

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