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$解：?(1) ?是矩形，理由是：$

$ ∵?\triangle A O B ?是等邊三角形$

$ ∴?O A=O B?$

$ 又 ∵四邊形? A B C D ?是平行四邊形$

$ ∴?O A=O C，?? O B= O D?$

$ ∴?O A=O C=O B=O D?$

$ ∴?O A+O C=O B+O D ，? 即? A C=B D?$

$ ∴?? A B C D ?是矩形$

$? (2) ?∵?△AOB?是等邊三角形 $

$ ∴?AB=AO=4?$

$ ∴?AC=2AO=8?$

$ ∴?BC=\sqrt {AC^2-AB^2}=4\sqrt 3\ \mathrm {cm}?$

$ ∴?S_{?ABCD}=AB ·BC=4×4\sqrt 3=16 \sqrt 3\ \mathrm {cm^2}?$

$解：由題意得，?BP=2t\ \mathrm {cm}，??DQ=t\ \mathrm {cm}?$

$ ∴?AQ=(10-t)\ \mathrm {cm}?$

$ 若四邊形?ABPQ?是矩形$

$ 則有?AQ=BP，?即?10-t=2t?$

$ ∴?t=\frac {10}3s?$

$證明：連接? A C 、?? B D ，? 設? A C 、?? B D ?相交于點? O ，? 連接? O E ?$

$ 在? Rt \triangle A C E ?中，? O ?是斜邊? A C ?的中點$

$ ∴? O A=O E=O C ?$

$ 同理，在?Rt \triangle B E D ?中，? O B=O E=O D?$

$ ∴?O A=O B=O C=O D?$

$ ∴?O A+O C=O B+ O D ，? 即? A C=B D?$

$ ∴??A B C D ?是矩形 $

$證明：∵?AB∥CD，?$

$∴?∠AEF+∠CFE=180°.?$

$∵?EG ?平分?∠AEF，??FG ?平分?∠CFE，??EH?平分?∠FEB，?$

$∴?∠GEF=\frac 12∠AEF，??∠EFG=\frac 12∠CFE，??∠HEF=\frac 12∠FEB.?$

$∵?∠AEF+∠CFE=180°，??∠GEF=\frac 12∠AEF，??∠EFG=\frac 12∠CFE，?$

$∴?∠GEF+∠EFG=90°，?$

$∴?∠EGF=90°，?$

$同理可得?∠EHF=90°，??∠GEH=90°.?$

$∵?∠EGF=90°，??∠GEH=90°，??∠EHF=90°，?$

$∴四邊形?EGFH?是矩形.$

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