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$解：由矩形?OABC，??PQ⊥BP?$

$可得?∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA?$

$∴?△QOP∽△PAB?$

$∴?\frac {OQ}{OP}=\frac {PA}{AB}，?即?\frac {OQ}{OP}=\frac {a-OP}b?$

$得?OQ=-\frac {OP^2}b+\frac {a}bOP=-\frac 1(OP-\frac a{2})^2+\frac {a^2}{4b}?$

$∴當(dāng)?OP=\frac a{2}?時，?OQ?長度最大，最大長度是?\frac {a^2}{4b}?$

$解：?△AOD∽△FCD?$

$延長?AO?交?\odot O?于點(diǎn)?G，?連接?CG?$

$則?∠G=∠B?$

$∵?AG?是直徑$

$∴?∠ACG=90°?$

$∴?∠GAC=90°-∠G?$

$∵?OE⊥AB?$

$∴?∠F=90°-∠B?$

$∴?∠GAC=∠F?$

$又?∠ODA=∠CDF?$

$∴?△AOD∽△FCD?$

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