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$ \frac{\sqrt{10}}{10}$

$ (6-2\sqrt{3})$

$?解：作EF//CD ，過點(diǎn)B作BM⊥EF ，垂足為點(diǎn)M ，如圖所示?$

$?設(shè)正方形方格紙每一小格的邊長為a ，?$

$?則NG= 2a， BF=3a ， BN=\sqrt{(2a)2+a2}=\sqrt{5}a?$

$?因?yàn)镹G=2a，BF=3a?$

$?所以S_{△BFN}=\frac {1}{2}×NG×BF=3a2?$

$?因?yàn)镹F=\sqrt{NG2+FG2}=2\sqrt{2}a，?$

$?S_{△BFN}=\frac {1}{2}×NF×BM?$

$?所以BM =\frac {2S_{△BFN}}{NF}=\frac {6a2}{2\sqrt{2}a}=\frac {3\sqrt{2}a}{2}?$

$?所以MN= \sqrt{BN2-BM2}=\frac {\sqrt{2}}{2}a?$

$?因?yàn)镋F//CD?$

$?所以∠BOD=∠BNM?$

$?所以tan∠BOD = tan∠BNM =\frac {BN}{NM}=3$

?

$ 解:(1)由題意,得PQ⊥AE，PQ=2.6m,$

$AB=CD=EQ=1.6m,AE=BQ=4m,$

$AC=BD=3m,$

$∴CE=1m,PE=1m,∠CEP=90°,$

$∴CE=PE,$

$∴β=∠PCE=45°,tanα=tan∠PAE=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$

$(2)∵CE=PE=1m,∠CEP=90°,$

∴CP=\sqrt{2}m.\過點(diǎn)C作CH⊥AP于點(diǎn)H.

$∵tanα=tan∠PAE=\frac{CH}{AH}=\frac{1}{4},$

$∴設(shè)CH=xm,則AH=4xm,$

$在Rt△AHC中,x2+(4x)2=AC2=9，$

$解得x=\frac{3\sqrt{17}}{17}(負(fù)值已舍去)，$

$∴CH=\frac{3\sqrt{17}}{17}m$

$∴sin∠APC=\frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}.$

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