$證明:(1)∵四邊形EFGH為菱形$ $∴HG=EH$ $∵AH=2,DG=2,∴DG=AH$ $在Rt△DHG和Rt△AEH中$ ${{\begin{cases} {{HG=EH}} \\ {DG=AH} \end{cases}}}$ $∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL),∴∠DHG=∠AEH$ $∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°$ $∴∠GHE=90°,∴菱形EFGH為正方形$ $(2)（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$ $證明:(1)連接BD、BF、BP$ $∵四邊形ABCD、$ $四邊形BEFG都是正 方形$ $∴∠CBD=45°=∠FBG$ $∴∠DBF=90°$ $∵四邊形ABCD是正方形$ $∴AD=AB,∠DAC=∠BAC=45°$ $又∵AP=AP,∴△APD≌△APB(SAS)$ $∴BP=DP,∴∠PDB=∠PBD$ $∵∠PDB+∠PFB=90°=∠PBD+∠PBF$ $∴∠PBF=∠PFB,∴PB=PF,∴PD=PF$ $即點(diǎn)P恰為DF的中點(diǎn)$ $(2)△APE是等腰直角三角形，理由如下:\ $ $∵四邊形ABCD、四邊形BEFG都是正方形$ $∴∠CAE=∠PEA=45°,$ $∴AP=EP,∠APE=90°,∴△APE是等腰直角三角形$ $(3)（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$
$解:作FQ⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接GE$ $∵四邊形ABCD為矩形$ $∴AB//CD,∴∠AEG=∠QGE$ $即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE$ $∵四邊形EFGH為菱形$ $∴HE=GF,HE//GF,∴∠HEG=∠FGE$ $∴∠AEH=∠QGF$ $在△AEH和△QGF中$ $\begin{cases}{∠A=∠Q\ }\ \\ {\ ∠AEH=∠OGF} \\{ HE=FG} \end{cases}$ $∴△AEH≌△QGF(AAS),∴QF=AH=2$ $∵DG=6,CD=8,∴CG=2$ $∴△FCG的面積=\frac{1}{2}CG×FQ=\frac{1}{2}×2×2=2 $
$解:△APE的形狀不改變.理由:$ $延長(zhǎng)EP至點(diǎn)M，使PM=EP,連接MA,MD$ $∵四邊形ABCD、四邊形BEFG都是正方形$ $∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠EBG=90°$ $BE=EF,BG//EF$ $∵點(diǎn)P為DF的中點(diǎn),∴PD=PF$ $∵∠DPM=∠FPE,PM=PE$ $∴△MPD≌△EPF(SAS)$ $∴DM=EF,∠DMP=∠FEP$ $∴BE=DM,DM//EF$ $∴BG//DM$
$設(shè)DF交BC于點(diǎn)H,交BG于點(diǎn)N$ $∴∠MDN=∠DNB$ $∵AD//BC,∴∠ADN=∠BHN$ $∵∠BHN+∠BNH+∠HBN=180°$ $∴∠ADM=∠ADN+∠MDN$ $=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN$ $∵∠ABE=360°-∠ABC-∠EBG-∠HBN$ $=180°-∠HBN$ $∴∠ADM=∠ABE.又∵AD=AB,∴△ADM≌△ABE(SAS)$ $∴AM=AE,∠DAM=∠BAE$ $∵PM=EP,∴AP⊥ME,即∠APE=90°$ $∵∠DAM+∠MAB=90°,∴∠BAE+∠MAB=90°$ $即∠MAE=90°$ $∴∠MAP=∠PAE=45°,∴∠PEA=45°=∠PAE$ $∴AP=EP$ $∴△APE是等腰直角三角形 $
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