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60°

$\sqrt{3}-1$

$\frac{2\sqrt{65}}{3}$

$\frac{2\sqrt{5}}{5} $

$解：過點C作CF⊥AB于點F.$

$設(shè)小正方形的邊長為a(a＞0)，則BC=2a，點A到BC的距離h=2a$

$由勾股定理，得AB=\sqrt {{(4a)}^{2}+{(2a)}^{2}}=2\sqrt {5}a$

$AC=\sqrt {{(2a)}^{2}+{(2a)}^{2}}=2\sqrt {2}a$

$由三角形的面積公式，得\frac 1 2AB·CF=\frac 1 2BC·h$

$即\frac 12×2\sqrt {5}a×CF=\frac 1 2×2a×2a,解得CF=\frac {2\sqrt {5}}5a$

$在Rt△AFC中，由勾股定理，得AF=\sqrt {{AC}^{2}-{CF}^{2}}=\frac {6\sqrt {5}}5a$

$∴tan∠BAC=\frac {CF}{AF}=\frac 1 3$

$∴sin∠BAC=\frac {CF}{AC}=\frac {\sqrt {10}}{10}，cos∠BAC=\frac {AF}{AC}=\frac {3\sqrt {10}}{10}$

$證明:(1)如圖，連接OE.$

$∵∠ACB=90°,AC=BC,$

$∴∠A=∠ABC=45°.\ $

$∴ ∠COE=2∠ABC=90°.\ $

$∵ EF//CD,$

$∴∠COE+∠FEO=180°.$

$∴∠FEO=90°.$

$∵OE是⊙O的半徑，$

$∴EF是⊙O的切線$

$解:(2)如圖，連接BD，$

$過點M作MH⊥BC 于點 H,$

$則△BMH 是等腰直角三角形\ $

$∵ 在Rt△BHM中，BM=4\sqrt{2}，$

$∴BH=MH=BM.sin_{45}°=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4.$

$∵在Rt△CHM中,tan∠BCD=\frac{HM}{CH}=\frac{1}{2},$

$∴ CH=2MH=8.$

$∴由勾股定理，得$

$CM= \sqrt{CH+MH2}=4 \sqrt{5},$

$CB=CH+BH=12.\ $

$∵ CD 是⊙O的直徑，$

$∴ ∠DBC=90°.$

$∴BD⊥BC.\ $

$∴ MH//BD.\ $

$∴\frac{CM}{DM}=\frac{CH}{BH}，即\frac{4\sqrt{5}}{DM}=\frac{8}{4}\ $

$∴DM=2 \sqrt{5}$

$∴ OD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(CM+DM)=3 \sqrt{5}\ $

$∴OM=OD-DM=\sqrt{5}\ $

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