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解：設(shè)?$∠BAE=x$?

∵?$ ∠CAE$?與?$∠EAB$?的度數(shù)之比為?$=4∶1 $?，?$∠BAE=x$?

∴?$ ∠CAE=4x$?

∵?$ DE$?是?$AB$?的垂直平分線

∴?$AE=BE$?

∴?$∠BAE=∠CBA$?

∵?$ ∠BAE=x $?，?$∠BAE=∠CBA$?

∴?$ ∠CBA=x$?

∵?$ ∠ACB=90°$?

∴?$∠BAC+∠CBA=90°$?

∴?$ 4x+x+x=90°$?，即：?$x=15°$?

故?$∠B$?的度數(shù)為?$15°.$?

解：∵?$AD⊥BC$?

∴?$∠D={90}°$?

∴?$AB^2-BD^2=AD^2$?，?$AC^2-CD^2=AD^2$?

∴?$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$?

設(shè)?$CD=x$?

∵?$BC=9$?

∴?$BD=9+x$?

∵?$AB=17$?，?$AC=10$?

∴?${17}^2-{(9+x)}^2={10}^2-x^2$?

解得?$x=6$?

∴?$CD=6$?

∴?$AD^2={10}^2-6^2=64$?

∴?$AD=8$?

∴?$AD$?的長是?$8.$?

解：?$(1)\ \mathrm {BH}=AC$?

∵?$C D⊥A B$?，?$ B E⊥A C$?

∴?$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$?

∵?$∠ABC=45°$?

∴?$∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC$?

∴?$DB=DC$?

∵?$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$?

∴?$∠A+∠ACD=90°$?，?$∠A+∠HBD=90°$?

∴?$∠HBD=∠ A C D$?，

在?$△DBH $?和?$ △DCA $?中

?$\begin {cases}{∠B D H=∠C D A}\\{ B D=C D}\\{ ∠H B D=∠A C D}\end {cases}$?

∴?$△DBH ≌△DCA(\mathrm {ASA})$?

∴?$BH=AC$?

?$(2)$?證明：連接?$CG$?

由?$ (1)$?知，?$ D B=C D $?

∵?$F $?為?$BC $?的中點(diǎn)

∴?$D F $?垂直平分?$BC$?

∴?$B G=C G$?

∵?$∠ABE=∠CBE$?，?$BE⊥AC$?

∴?$EC=EA$?

在?$Rt△C G E $?中，由勾股定理得：?$C G^2-G E^2=C E^2$?

∵?$ C E=A E$?，?$ B G=C G$?

∴?$B G^2-GE^2=AE^2$?

證明：?$ (1)$?∵?$△A B C$?為等邊三角形?$ $?

∴?$AB=CA=BC$?，?$ ∠BAE=∠ACD=60° $?

在?$△ABE$?和?$△CAD$?中

?$\begin {cases}{A B=C A}\\{∠B A E=∠A C D }\\{A E=C D}\end {cases}$?

∴?$△ABE≌△CAD(\mathrm {SAS}) $?

∴?$AD=BE$?

?$ (2)$?解?$ ∶ $?∵?$△A B E ≌△C A D $?

∴?$∠CAD=∠ABE$?

∴?$∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60° $?

∵?$BQ ⊥ AD$?

∴?$∠AQB=90°$?

∴?$∠PBQ=90°-60°=30° $?

∵?$PQ=3$?，?$ $?在?$ Rt△ BPQ{中}$?，?$ BP=2\ \mathrm {PQ}=6$?

又 ∵?$P E=1 $?

∴?$AD=BE=BP+PE=6+1=7$?

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