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解：?$(1) △ABP≌△DCP $?；?$△BEP≌△CFP $?；?$△BFP≌△CEP$?

?$(2)$?證明： ∵?$AD / / BC$?，?$ AB=DC$?

∴四邊形?$ABCD$?為等腰梯形

∴?$∠BAD=∠CDA$?，?$ ∠ABE=∠DCF$?

又∵?$P A=P D$?，

∴?$∠PAD=∠PDA$?，

∴?$∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA$?，即?$ ∠BAP=∠CDP$?

在?$△ABE$?和?$△DCF{中}$?

?$\begin {cases}{∠B A P=∠C D P }\\{A B=D C }\\{∠A B E=∠D C F}\end {cases}$?

∴?$△ABE ≌△DCF(\mathrm {ASA})$?

證明：?$(1)$?∵?$BE⊥AC$?，?$CD⊥AB$?

∴?$∠ADC=∠AEB=90°$?

在?$△ADC$?和?$△AEB$?中

?$\begin {cases}{∠A=∠A}\\{∠ADC=∠AEB}\\{AC=AB}\end {cases}$?

∴?$△ADC≌△AEB(\mathrm {AAS})$?

∴?$AD=AE.$?

?$(2)AO$?垂直平分?$BC$?，理由如下：

∵?$AB=AC$?

∴?$∠ABC=∠ACB$?

∵?$△ADC≌△AEB$?

∴?$∠ABE=∠ACD$?

∴?$∠DCB=∠EBC$?

∴?$BO=CO$?

又∵?$AB=AC$?

∴?$AO$?垂直平分?$BC$?

解：?$(1)$?正方形、矩形(答案不唯一)

?$(2)①$?∵將?$△ABC$?繞頂點?$B$?按順時針方向旋轉(zhuǎn)?$60°$?得到?$△DBE$?

∴?$BC=BE$?，?$∠CBE=60°$?

∴?$△BCE$?是等邊三角形

②∵?$△BCE$?為等邊三角形

∴?$BC=CE$?，?$∠BCE=60°$?

∵?$∠DCB=30°$?

∴?$∠DCE=90°$?

在?$Rt△DCE$?中：?$DC^2+CE^2=DE^2$?

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易知：?$DE=AC$?

∴?$DC^2+BC^2=AC^2$?，即四邊形?$ABCD$?是勾股四邊形

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