證明：?$(1)$?連接?$DB$?、?$DC$?，
∵?$DG⊥BC$?且平分?$BC$?，
∴?$DB=DC.$?
∵?$AD$?為?$∠BAC$?的平分線，?$DE⊥AB$?，?$DF⊥AC$?，
∴?$DE=DF.$?
∵?$∠BED=∠CFD=90°$?，
∴?$Rt△DBE≌Rt△DCF(\mathrm {HL})$?，
∴?$BE=CF.$?
?$(2)$?在?$Rt△ADE$?和?$Rt△ADF $?中，
?$\begin {cases}{AD=AD}\\{DE=DF}\end {cases}$?
∴?$Rt△ADE≌Rt△ADF(\mathrm {HL})$?，
∴?$AE=AF.$?
∵?$AC+CF=AF$?，
∴?$AE=AC+CF.$?
∵?$AE=AB- BE$?，
∴?$AC+CF=AB-BE$?，
∵?$AB=8$?，?$AC=4$?，
∴?$4+BE=8-BE$?，
∴?$BE=2$?，
∴?$AE=8-2=6$?
