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第44頁

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$ 2\sqrt{21}$
65°
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$(1)證明：因為OC//AB$
$所以∠OCA=∠CAB$
$因為OA=OC$
$所以∠OAC=∠OCA$
$所以∠OAC=∠CAB$
$即AC平分∠DAB$
$所以 {\widehat{DC }}= {\widehat{BC }}$
$所以DC=BC$
$(2)解：(2)由(1)知 DC=BC$
$因為AD是⊙O的直徑$
$所以∠ACD=90°$
$因為AC=12，AD：BC=3：1$
$所以在Rt△ACD中，AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}\ $
$所以AD= \sqrt{1{2}^2+\frac {1}{9}A{D}^2} $
$解得，AD= 9\sqrt{2} $
$所以⊙O的半徑是 \frac {1}{2}AD= \frac {9\sqrt{2}}{2} $
$(1)證明：因為OC//AB$
$所以∠OCA=∠CAB$
$因為OA=OC$
$所以∠OAC=∠OCA$
$所以∠OAC=∠CAB$
$即AC平分∠DAB$
$所以 {\widehat{DC }}= {\widehat{BC }}$
$所以DC=BC$
$(2)解：(2)由(1)知 DC=BC$
$因為AD是⊙O的直徑$
$所以∠ACD=90°$
$因為AC=12，AD：BC=3：1$
$所以在Rt△ACD中，AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}\ $
$所以AD= \sqrt{1{2}^2+\frac {1}{9}A{D}^2} $
$解得，AD= 9\sqrt{2} $
$所以⊙O的半徑是 \frac {1}{2}AD= \frac {9\sqrt{2}}{2} $

$解：連接A D$
$\because \angle D O A=90^{\circ}$
$\therefore A D 為直徑$
$即點 C 在線段 A D 上$
$由圓周角定理， 得： \angle O D A=\angle O B A=45^{\circ}$
$\therefore \triangle A O D 是等腰直角三角形$
$在 Rt \triangle A O D 中$
$\because O D=2$
$\therefore O A=2$
$即點 A 坐標為 (2，0)$
$\therefore A D=\sqrt{O A^2+O D^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2 \sqrt{2}$
$\therefore 圓的半徑為： \frac {1}{2} \times A D=\frac {2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$\because 點 C 為 A D 的中點$
$\therefore 圓心 C 的坐標為 (1，1)$
$綜上所述， A(2，0)， C(1，1)\ $

$11.解：連接AO并延長交BC于E$
$連接OC，則OB=OC$
$又∵AB=AC$
$∴直線AO垂直平分BC$
$設(shè)OE=x，則AE=OA+OE=x+\sqrt{5}$
$在Rt△OBE中$
$BE^{2}=OB^{2}-OE^{2}$
$=(\sqrt{5})^{2}-x^{2}=5-x^{2}$
$在Rt△ABE中$
$BE^{2}=AB^{2}-AE^{2}$
$=4^{2}-(x+\sqrt{5})^{2}$
$∴5-x^{2}=4^{2}-(x+\sqrt{5})^{2}$
$=16-(x^{2}+2\sqrt{5}x+5)$
$=16-x^{2}-2\sqrt{5}x-5$
$2\sqrt{5}x=6$
$x=\frac{3}{5}\sqrt{5}$
$BE^{2}=5-(\frac35\sqrt{5})^{2}$
$=5-\frac95$
$=\frac{16}{5}$
$BE=\frac45\sqrt{5}(負值舍去)$
$BC=2BE=2×\frac45\sqrt{5}=\frac85\sqrt{5}$
$∵BD是直徑$
$∴BD=2\sqrt{5}$
$∠BAD=∠BCD=90°$
$∴AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}$
$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-4^{2}}$
$=\sqrt{4}$
$=2$
$CD=\sqrt{BD^{2}-BC^{2}}$
$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-(\frac85\sqrt{5})^{2}}$
$=\frac65\sqrt{5}$
$∴S_{四邊形ABCD}=S_{△BAD}+S_{△BCD}$
$=\frac12AB\cdot AD+\frac12BC\cdot CD$
$=\frac12×4×2+\frac12×\frac85\sqrt{5}×\frac65\sqrt{5}$
$=4+\frac{24}{5}$
$=8.8$

$解：連接BD$
$因為AB是圓O的直徑$
$所以∠ADB=∠ACB=90°$
$在Rt△ACB中，AB= \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=20(\ \mathrm {cm})$
$因為CD平分∠ACB$
$所以∠1=∠2$
$所以 {\widehat{AD }}= {\widehat{BD }}$
$所以AD=BD$
$在Rt△ABD中$
$因為AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$
$所以AD=BD= \frac {\sqrt{2}}{2}AB= 10\sqrt{2}(\ \mathrm {cm})$
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