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解：?$(1)$?由點?$A$?的坐標(biāo)知?$OA=2$?

∴?$OC=2OA=4$?

∴點?$C$?的坐標(biāo)為?$(0$?，?$4)$?

?$ $?將點?$A(-2$?，?$0)$?，?$B(4$?，?$0)$?，?$C(0$?，?$4)$?的坐標(biāo)

代入拋物線的表達式

得?$\begin {cases}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end {cases}$?，解得?$\begin {cases}{a=-\frac {1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end {cases}$?

∴拋物線的表達式為?$y=-\frac 12x2+x+4$?

將點?$B(4$?，?$0)$?，?$C(0$?，?$4)$?的坐標(biāo)代入

直線?$BC$?的表達式，

得?$\begin {cases}{4m+n=0}\\{n=4}\end {cases}$?，解得?$\begin {cases}{m=-1}\\{n=4}\end {cases}$?

∴直線?$BC$?的表達式為?$y=-x+4$?

?$(2)$?由點?$A$?、?$B$?關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

可知點?$F $?是直線?$BC$?與對稱軸的交點時?$($?如圖?$)$?

?$FA+ FC$?的值最小，最小值為?$BC$?的長

易知，拋物線的對稱軸為直線?$x=1$?，

對于?$y=-x+4$?，當(dāng)?$x =1$?時，?$y=3$?

∴點?$F $?的坐標(biāo)?$ $?為?$(1$?，?$3)$?

由點?$B$?、?$C$?的坐標(biāo)知?$OB=OC=4$?

∴?$BC=\sqrt {2}BO=4\sqrt 2$?

∴?$FA+FC$?的最小值為?$4\sqrt 2$?

解：?$(1)$?∵拋物線?$y=ax2+x+m(a≠0)$?經(jīng)過

點?$ B(0$?，?$-4)$?，點?$C(2$?，?$0)$?

∴?$\begin {cases}{m=-4}\\{4a+2+m=0}\end {cases}$?，解得?$\begin {cases}{a=\frac {1}{2}}\\{m=-4}\end {cases}$?

∴拋物線的解析式為?$y=\frac 12x^2+x-4$?

?$(2)$?存在

如圖，設(shè)?$D(t$?，?$\frac 12t^2+t-4)$?，連接?$OD$?

令?$y=0$?，則?$\frac {1}{2}x2+x-4=0$?

解得?$x=-4$?或?$x= 2$?

∴?$A(-4$?，?$0)$?

∵?$B(0$?，?$-4)$?，∴?$OA=OB =4$?

∴?$S_{△ABD}=S_{△AOD}+ S_{△OBD}-S_{△AOB}$?

?$=\frac {1}{2}×4× (-\frac 12t^2-t+4)+\frac {1}{2}×4×(-t)-\frac {1}{2}×4×4$?

?$=-t2-4t $?

?$=-(t+2)2+4$?

∵?$-1＜0$?

∴?$t=-2$?時，?$△ABD$?的面積最大，

最大值為?$4$?，此時?$D$?的坐標(biāo)為?$(-2$?，?$-4)$?

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