解：?$(1)$?由題意知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?$(5$?，?$3.5)$?
設(shè)拋物線的表達(dá)式為?$y=a(x-5)2+3.5$?
將?$(0$?，?$1)$?代入得?$1=25a+3.5$?，解得?$a=-\frac {1}{10}$?
∴?$y=-\frac {1}{10}(x-5)2+3.5=-\frac {1}{10}x^2+x+1$?
?$(2)$?當(dāng)?$y=1.9$?時，?$-\frac {1}{10}x2+x+1=1.9$?
解得?$x=1$?或?$x= 9$?
∴她與哥哥的水平距離為?$4-1=3(\mathrm {m})$?
或?$9-4=5(\mathrm {m})$?
答：當(dāng)哥哥的頭頂恰好接觸到水柱時，
小紅與哥哥的水平距離是?$3m $?或?$5m.$?
