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解：?$(2)$?點?$P $?與點?$Q $?相遇前，?$2t+t=6-2$?，解得?$t=\frac {4}{3} $?
點?$P $?與點?$Q $?相遇后，?$2t+t=6+2$?，解得?$t=\frac {8}{3}$?
故當?$t $?為?$\frac {4}{3}$?或?$\frac {8}{3}$?時，點?$P $?與點?$Q $?之間的距離為?$2$?個單位長度
?$(3)$?存在
當點?$P $?在點?$C$?左側(cè)時，?$PC=2-2t$?，?$QB=t$?
∵?$PC-QB=1$?
∴?$2-2t-t=1$?，解得?$t=\frac {1}{3}$?
此時點?$P $?表示的數(shù)是?$-1+\frac {2}{3}=-\frac {1}{3} $?
當點?$P $?在點?$C$?右側(cè)時，?$PC=2t-2$?，?$QB=t$?
∵?$PC-QB=1$?
∴?$2t-2-t=1$?，解得?$t=3$?
此時點?$P $?表示的數(shù)是?$-1+6=5$?
綜上所述，在運動過程中，存在某一時刻使得?$PC-QB=1$?，此時點?$P $?表示的數(shù)為?$-\frac {1}{3}$?或?$5$?
解：?$(1)②$?存在，?$BM=4MN$?，理由如下：
∵?$AP=8\ \mathrm {cm}$?，?$AB=32\ \mathrm {cm}$?，∴?$BP=24\ \mathrm {cm}$?
當?$t=8$?時，點?$M$?，?$N$?同時到達點?$B$?
∴當?$0＜t＜8$?時，?$AM=4t$?，?$PN=3t$?
當?$0＜t≤2$?時，?$MP=8-4t$?
∴?$MN=MP+NP=8-4t+3t=8-t$?
當?$2＜t＜8$?時，?$MP=4t-8$?
?$MN=NP-MP=3t-(4t-8)=8-t$?
∵?$BM=32-4t=4(8-t)$?
∴?$BM=4MN$?
當?$t＞8$?時，?$AM=4t$?，?$PN=3t$?
∴?$AN=8+3t$?
∴?$MN=AM-AN=4t-8-3t=t-8$?
∵?$BM=4t-32=4(t-8)$?
∴?$BM=4MN$?
 綜上所述，?$BM=4MN$?
?$(2)①$?點?$M$?在點?$B$?的左邊，點?$N$?在點?$M$?的左邊
則?$AP=32-4-3-\frac {32-4}{4}×3=4(\mathrm {cm})$?
∴?$\frac {AP}{PB}=\frac {4}{32-4}=\frac {1}{7}$?
?$②$?點?$M$?在點?$B$?的左邊，點?$N$?在點?$M$?的右邊
則?$AP=32-4+3-\frac {32-4}{4}×3=10(\mathrm {cm})$?
∴?$\frac {AP}{PB}=\frac {10}{32-10}=\frac {5}{11}$?
?$ ③$?點?$M$?在點?$B$?的右邊，點?$N$?在點?$M$?的左邊
則?$AP=32+4-3-\frac {32+4}{4}×3=6(\mathrm {cm})$?
∴?$\frac {AP}{PB}=\frac {6}{32-6}=\frac {3}{13}$?
?$④$?點?$M$?在點?$B$?的右邊，點?$N$?在點?$M$?的右邊
則?$AP=32+4+3-\frac {32+4}{4}×3=12(\mathrm {cm})$?
∴?$\frac {AP}{PB}=\frac {12}{32-12}=\frac {3}{5}$?
故?$\frac {AP}{PB}$?的值為?$\frac {1}{7}$?或?$\frac {5}{11}$?或?$\frac {3}{13}$?或?$\frac {3}{5}$?
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