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$解：(1)因為OB是∠AOC的平分線，$

$所以∠BOC=∠AOB=50°$

$因為OD 是∠COE的平分線，$

$所以∠COD=∠DOE=30°，$

$所以∠BOD=∠BOC+∠COD=50°+30°=80°.$

$(2)因為OB平分∠AOC，OD平分∠COE，$

$所以∠EOD=∠DOC，∠AOB=∠COB.$

$設(shè)∠EOD=∠DOC=x°，∠AOB=∠COB=(100-2x)°，$

$因為∠COD+∠COB+∠AOB=110°，$

$所以x+100-2x+100-2x=110，$

$解得x=30，$

$即∠EOD=∠DOC=30°$

$所以∠BOD=∠BOE-∠DOE=100°-30°=70°.$

$(3)設(shè)∠AOB=∠BOC=x，∠EOD=∠DOC=y，$

$依題意可知， ∠AOD=2x+y，∠BOE=x+2y.$

$由∠AOD+∠BOE=n，得3x+3y=n，即x+y=\frac{1}{3}n$

$所以∠BOD=∠BOC+∠COD=x+y=\frac 1 3n$

$解：(1)題圖①中，∠BOC=∠AOC-∠AOB=20°.\ $

$因為OD是∠BOC 的平分線,$

$所以∠COD=\frac{1}{2}∠BOC=10°，$

$所以∠AOD=∠AOC-∠COD=60°；$

$題圖②中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°$

$因為OD是∠BOC的平分線，$

$所以∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC=60°，$

$所以∠AOD=∠BOD-∠AOB=10°.$

$解：(2)∠AOD=\frac{n+m}{2}或\frac{n-m}{2}\ $

$解：(1)因為∠AOC與∠AOB互補，∠AOC=70°，$

$所以∠AOB=180° - ∠AOC=180°-70°=110°，$

$所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=110°-70°=40°.$

$因為 OE、OF分別平分∠AOC 和∠BOC,$

$所以∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=35°，∠COF=\frac{1}{2}∠BOC=20°，$

$所以∠EOF=∠COE+∠COF=35°+20°=55°.$

$解：(2)①因為∠AOC與∠AOB互補，$

$所以∠AOB=180°-∠AOC.$

$又因為 OD平分∠AOB，$

$所以∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}(180°-∠AOC)=90°-\frac{1}{2}∠AOC，$

$所以∠COD=∠AOC-∠AOD=∠AOC- (90° -\frac{1}{2}∠AOC)=\frac{3}{2}∠AOC-90°，$

$所以∠AOC-3∠COD=∠AOC-3(\frac{3}{2}∠AOC-90°)=32°，$

$解得∠AOC=68°，$

$所以∠AOB=180，∠AOC=112°， $

$所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=44°. $

$因為OE、OF分別平分∠AOC和∠BOC，$

$所以∠COE=\frac{1}{2}∠AOC=34°，∠COF=\frac{1}{2}∠BOC=22°， $

$所以∠EOF=∠COE+∠COF=34°+22°=56°.\ $

$②由①可得∠AOB=180°-∠AOC， $

$∠COD=\frac{3}{2}∠AOC-90°，$

$∠DOE=∠COE-∠COD=\frac{1}{2}∠AOC-(\frac{3}{2}∠AOC-90°)=90°-∠AOC，$

$所以\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE}=\frac{k(180°-∠AOC)-(\frac32∠AOC-90°)}{90°-∠AOC}=\frac{90°×(2k+1)-(\frac32+k)∠AOC}{90°-∠AOC}.$

$因為\frac{k∠AOB-∠COD}{∠DOE}的值是一個定值，$

$所以2k+1=\frac 32+k，$

$所以k=\frac{1}{2}$

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