$(2)解:這樣的點D存在,理由如下:\ $
$根據(jù)四邊形ABDC可知,D位于拋物線上BC段之間\ $
$在拋物線的BC段上任取一點D,連結(jié)AC、CD、BD、$
$OD\ $
$將點C(0,-3)代入y= x^{ 2}-2x+k,可得\ k=-3\ $
$所以拋物線的解析式為y= x^{ 2}-2x-3\ $
$令y=0得,y= x^{ 2}-2x-3\ $
$解得x=-1或3\ $
$則點A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)\ $
$設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y)(x＞0,y＜0)\ $
$∵ 點A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)、$
$C(0,-3)、(x,y)\ $
$∴ OA=1 OC=3 OB=3\ $
$△OBD的底邊OB上的高為\left| y\right|,即-y,$
$△OCD底邊OC的高為x\ $
$∴ \ S_{ △AOC}=\frac{1}{2}×3×1$
$=\frac{3}{2} \ S_{ △OBD}=\frac{1}{2}×3× (-y)$
$=-\frac{ 3y}{ 2} \ S_{ △OCD}=\frac{1}{2}×3x=\frac{ 3x}{ 2}\ $
$\ ∵ \ S_{ 四邊形ABDC}= S_{ △AOC}+ S_{ △OCD}+ S_{ △OBD} \ S_{ △AOC}=\frac{3}{2} \ S_{ △OBD}=-\frac{ 3y}{ 2} \ S_{ △OCD}=\frac{ 3x}{ 2}\ $
$∴ \ S_{ 四邊形ABDC}=\frac{3}{2}- \frac{ 3y}{ 2}+\frac{ 3x}{ 2}$
$\ ∵ 點D(x,y)在y= x^{ 2}-2x-3的圖象上$
$\ ∴ 點D滿足y= x^{ 2}-2x-3\ $
$∵ \ S_{ 四邊形ABDC}=\frac{3}{2}- \frac{ 3y}{ 2}+\frac{ 3x}{ 2} \ y= x^{ 2}-2x-3\ $
$∴ \ S_{ 四邊形ABDC}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}× ( x^{ 2}-2x-3)+\frac{ 3x}{ 2}\ $
$∴ \ S_{ 四邊形ABDC}=-\frac{3}{2}× (x-\frac{3}{2})^{ 2}+\frac{75}{8}$
$\ ∴ 當(dāng)x=\frac{3}{2}時,四邊形ABDC的面積最大,即為\frac{75}{8}\ $
$將x=\frac{3}{2}代入y= x^{ 2}-2x-3,$
$得\ \ y= (\frac{3}{2})^{ 2}-2×\frac{3}{2}-3=-\frac{15}{4}$
$\ ∴ 此時點D的坐標(biāo)為(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})\ $
$∴ 當(dāng)點D的坐標(biāo)為(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})時,四邊形ABDC的面積最大$
$為\frac{75}{8}$
