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30°

$解：(1)由題意得AD//BC，所以∠DEF+∠CFE=180°$

$因為∠DEF=20°$

$所以∠CFE=180°-∠DEF=180°-20°=160°.$

$(2)由折疊可得∠D_1EF=∠DEF=20°$

$所以∠DEG=∠DEF+∠D_1EF=20°+20°=40°$

$因為AD//BC，所以∠CGD_1=∠DEG=40°$

$因為FC_1//ED，所以∠C_1FC=∠CGD_1=40°$

$(3)∠C_2FE+∠DEF=∠EGF.理由如下:$

$因為AD//BC，所以∠EFB=∠DEF$

$∠DEF+∠CFE=180°，∠DEG+∠EGF=180°$

$設(shè)∠DEF=x°，則∠EFB=x°，$

$∠CFE=180°-∠DEF=180°-x°$

$由折疊可得∠D_1EF=∠DEF=x°$

$所以∠DEG=∠DEF+∠D_1EF=2x°$

$所以∠EGF=180°-∠DEG=180°-2x°$

$因為FC_1//ED_1，所以∠C_1FG=∠EGF=180°-2x°$

$因為四邊形GD_1C_1F折疊得到四邊形GD_2C_2F$

$所以∠C_2FG=∠C_1FG=180°-2x°$

$∠C_2FE=∠C_2FG-∠EFB=180°-2x°-x°=180°-3x°$

$所以∠C_2FE+∠DEF=180°-3x°+x°=180°-2x°=∠EGF$

$即∠C_2FE+∠DEF=∠EGF.$

$解：(1)因為AB平分∠CAD$

$所以∠DAB=∠BAC$

$又因為∠ABC=∠BAC$

$所以∠DAB=∠ABC$

$所以DE//PQ$

$（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$

$解：①如圖①，因為CK⊥AB$

$所以∠AKC=90°$

$又因為∠FKA=\frac{1}{2}∠AKC$

$所以∠FKA=45°$

$設(shè)∠EAC=x°$

$因為∠DAB=∠BAC=∠ABC$

$所以∠ABC=\frac{180°-x°}{2}=90°-\frac{1}{2}x^2$

$又因為2∠EAC-∠BCK=90°$

$所以∠BCK=2x°-90°$

$在△BKC中，∠KBC+∠BCK=90°$

$即90°-\frac{1}{2}x°+2x°-90°=90°$

$解得x=60$

$因為180°-∠DAK$

$=∠FAK$

$=180°-(∠AKF+∠AFK)$

$所以∠DAK=∠AKF+∠AFK$

$所以∠AFK$

$=∠DAB-∠AKF$

$=90°-\frac{1}{2}x°-45°$

$=15°$

$②是定值.如圖②，設(shè)∠EAC=x°$

$因為∠DAB=∠BAC=∠ABC$

$所以∠ABC=\frac{180°-x°}{2}=90°-\frac{1}{2}x°$

$因為2∠EAC-∠BCK=90°$

$所以∠BCK=2x°-90°$

$在△BKC中$

$∠AKC$

$= 180°-∠BKC$

$= ∠KBC+∠BCK$

$=90°-\frac{1}{2}x°+2x°-90°$

$=\frac{3}{2}x°$

$所以\frac{∠AKC}{∠EAC}=\frac{\frac{3}{2}x°}{x°}=\frac{3}{2}$

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