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$解：B D=A C，\ 理由如下：$
$由于 A D 平分 \angle BA E$
$∴可將 \triangle A B D沿 A D\ $
$所在直線翻折到 \triangle A F D 的位置$
$則 \triangle A B D≌ \triangle A F D$
$∴\angle F=\angle B，B D=D F\ $
$\text { 又 } \angle CA E=\angle B$
$∴\angle CA E=\angle F\ $
$又 \angle A E C=\angle F E D，且 E 是 C D 的中點$
$∴\triangle A C E ≌ \triangle F D E$
$∴D F=A C$
$∴B D=A C\ $

$解：(1)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$
$(2)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$
$(3)EF=D F-B E ?$
$證明： 探究： 作? D E \perp A B ?于? E，?? D F \perp A C ，? 交? A C?的延長線于? F ?$

$\ 在? \triangle D F A ?和? \triangle D E A ?中$
$?\begin{cases}{\angle D A F=\angle D A E}\\{\angle A F D=\angle A E D=90°}\\{D A=D A}\end{cases}?$
$∴?\triangle D F A ≌ \triangle D E A( AAS ) ?$
$∴?D F= D E ?$
$∵?\angle A B D+\angle A C D=180°，?? \angle A C D+\angle F C D=180° ?$
$∴?\angle A B D=\angle F C D ?$
$?在 \triangle D F C 和 \triangle D E B 中 ?$
$?\begin{cases}{\angle D F C=\angle D E B}\\{\angle F C D=\angle E B D}\\{D F=D E}\end{cases}?$
$∴?\triangle D F C≌ \triangle D E B(\mathrm {AAS})?$
$∴?D B=D C ?$
$應(yīng)用： 連接? A D ，? 作? D F \perp A C ，? 交? A C ?的延長線于? F ?$

$∵?\angle A C D=135°?$
$∴?\angle F C D=180°-\angle A C D=45°?$
$∵?\angle B= 45°?$
$∴?\angle F C D=\angle B ?$
$在? \triangle D F C ?和? \triangle D E B ?中$
$?\begin{cases}{\angle D F C=\angle D E B=90°}\\{\angle F C D=\angle B}\\{D C=D B}\end{cases}?$
$∴?\triangle D F C ≌ \triangle D E B(\mathrm {AAS})?$
$∴?D F=D E，??C F=B E ?$
$在? Rt \triangle A D F ?和? Rt \triangle A D E ?中$
$?\begin{cases}{A D=A D}\\{D F=D E }\end{cases}?$
$∴?Rt \triangle A D F≌ Rt \triangle A D E(\mathrm {HL})?$
$∴?A F=A E ?$
$∴?A B=A E+B E=A C+C F+B E=A C+2BE?$
$∴?A B-A C=2BE ?$
$證明：過點 P 作 B Q 的平行線交 A C 于點 D\ $

$∵B Q 平分 \angle A B C 且 \angle A B C=180°-\angle BA C-\angle C=80°$
$∴\angle C B Q= \frac{1}{2} \angle A B C=\frac{1}{2} ×80°=40°$
$∴\angle C B Q=\angle A C B\ $
$過點 Q 作 Q F \perp B C 于點 F$
$易證 \triangle B Q F≌\triangle C Q F$
$∴B Q=C Q$
$∴B Q+A Q= C Q+A Q=A C \quad①$
$∵P D// B Q$
$∴\angle C P D=\angle C B Q=40°$
$∴\angle C P D=\angle A C B=40°$
$∴P D=C D$
$又 \angle A D P=\angle C P D+\angle A C B=40°+40°=80°$
$且 \angle A B C=80°$
$∴\angle A B C=\angle A D P\ $
$∵A P 平分 \angle BA C$
$∴\angle BA P= \angle CA P\ $
$在 \triangle A B P 與 \triangle A D P 中$
$~\angle A B P=\angle A D P~ \angle BA P=\angle DA P~A P=A P$
$∴\triangle A B P≌\triangle A D P(\mathrm{AAS})$
$∴A B=A D，B P=P D，$
$∴A B+B P=A D+P D=A D+ C D=A C ②$
$由①②可得，A B+B P=B Q+A Q\ $
$解：? (1) ?將? \triangle A D F ?繞著點? A ?按順時針方向旋轉(zhuǎn)? 90°，?$
$得? \triangle A B H?$

$∵四邊形? A B C D ?是正方形$
$∴?A D=A B=B C=C D，??\angle A B C=\angle A D F=\angle C=90° ?$
$∵?D F=B E=B H=1?$
$由旋轉(zhuǎn)可得? A F=A H，??\angle DA F=\angle BA H?$
$又∵?\angle EA F=45°?$
$∴?\angle DA F+ \angle BA E=45°=\angle BA H+\angle BA E=\angle HA E=\angle EA F?$
$∵?A E=A E?$
$∴?\triangle A E F ≌ \triangle A E H(\mathrm {SAS})?$
$∴?H E=E F=2\ $
$證明：?(2)?將? \triangle A D F ?繞著點? A ?按順時針方向旋轉(zhuǎn)? 90°，$
$?得? \triangle A B F^{\prime}?$

$則? \angle A B F^{\prime}=\angle D，??A F=A F^{\prime}，??\angle BA F^{\prime}=\angle DA F ?$
$∵四邊 形? A B C D ?是正方形$
$∴?\angle D=\angle A B C=90°?$
$∴?\angle A B F^{\prime}=90°?$
$∴?\angle F^{\prime}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=180°?$
$∴?F^{\prime} 、?? B 、?? E ?在同一直線上$
$∵?\angle EA F=45°?$
$∴?\angle DA F+\angle BA E=45°=\angle F^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}+\angle BA E=\angle F^{\prime}\ \mathrm {A}\ \mathrm {E}=\angle EA F?$
$又∵?A E=A E?$
$∴?\triangle A F^{\prime}\ \mathrm {E}≌\triangle A F E (\mathrm {SAS})?$
$∴?E F=E F^{\prime}?$
$∴?E F= F^{\prime}\ \mathrm {E}=B E+D F?$
$即? B E+D F=E F ? $
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