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△ADC≌△CEB

DE=AD+BE

$證明：(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°$

$∴∠ACD=∠CBE$

$在△ADC和△CEB中$

$\begin{cases}{∠ADC=∠CEB}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=CB}\end{cases}$

$∴△ACD≌△CBE(\mathrm {AAS})$

$∴CE=AD，CD=BE$

$∴DE=CE-CD=AD-BE$

$(3)由(2)易知△ACD≌△CBE$

$∴CD=BE=3，CE=AD=1$

$∴DE= CD-CE=3-1=2$

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$證明：(1)∵∠ABC=∠ACB$

$又∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，$

$∠DEC=∠DEF+ ∠CEF，$

$∠DEF=∠ABC$

$∴∠BDE=∠CEF$

$在△DBE和△ECF 中$

$\begin{cases}∠DBC=∠ECF\\∠BDE=∠CEF\\BE=CF\end{cases}$

$∴△DBE≌△ECF(\mathrm {AAS})$

$∴DE=EF $

$解：(2)∵ ∠A+2∠DEF=180°，$

$∠A+2∠B=180°$

$∴ ∠DEF=∠B$

$\ 由(1)易證△DBE≌△ECF$

$∴DB=EC$

$∵BC=9,EC=2BE$

$∴.EC=6，BE=3$

$∴BD=EC=6$

$解：(3)成立$

$證明：過點(diǎn)E、F 分別作EM⊥AB， FN⊥BC$

$∴∠EMB=∠EMD= ∠FNC=∠FNE=90°$

$∵∠EBM=∠FCN，BE=CF$

$∴△EMB≌△FNC(\mathrm {AAS})$

$∴EM=FN$

$又 DE=EF$

$∴Rt△DEM≌Rt△EFN(\mathrm {HL})$

$∴∠BDE=∠CEF$

$又∠DEC=∠BDE+∠ABC，$

$∠DEC= ∠DEF+∠CEF$

$∴∠DEF=∠ABC$

$解：(1)①∵∠BEC=∠CFA=∠α=90°，$

$∠ACB=90°$

$∴∠BCE+∠ACF= 90°，∠CBE+∠BCE=90°$

$∴∠ACF=∠CBE$

$在△BCE和△CAF 中$

$\begin{cases}∠EBC=∠FCA\\∠BEC=∠CFA\\BC=CA\end{cases}$

$∴△BCE≌△CAF(\mathrm {AAS})$

$∴BE=CF$

$②EF=BE-AF，證明如下：$

$∵∠BEC=∠CFA=∠α，$

$∠α+∠ACB=180°$

$∴∠CBE=180°-∠BCE-∠α，$

$∠ACF=∠ACB-∠BCE=180°-∠α= ∠BCE$

$∴∠ACF =∠CBE$

$在 △BCE 和 △CAF 中$

$\begin{cases}∠EBC=∠FCA\\∠BEC=∠CFA\\BC=CA\end{cases}$

$∴△BCE≌△CAF(\mathrm {AAS})$

$∴BE=CF，CE=AF$

$∴EF=CF-CE=BE-AF$

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