證明?$：(1)$?如圖，連接?$OC. $?
?$∵C$?為?$\widehat{EB} $?的中點(diǎn)，
?$∴\widehat{EC}=\widehat{BC}，$?
?$∴ ∠EAC=∠BAC. $?
?$∵ OA=OC， $?
?$∴ ∠BAC=∠OCA，$?
?$∴ ∠EAC=∠OCA， $?
?$∴ AE//OC， $?
?$∴ ∠ADC=∠OCF.$?
?$∵ CD⊥AE， $?
?$∴ ∠ADC=90°， $?
?$∴ ∠OCF=90°，$?
即?$OC⊥DF.$?
又?$∵ OC$?為?$⊙O$?的半徑，
?$∴ CD$?是?$⊙O$?的切線
?$(2)$?如圖，過點(diǎn)?$O$?作?$OH⊥AE，$?垂足為?$H.$?
設(shè)?$⊙O$?的半徑為?$r，$?則?$OA=OC=r.$?
?$∵OH⊥AE，OH$?過圓心?$O，$?
?$∴ ∠DHO=90°，AH=EH.$?
?$∵ ∠ADC=90°，∠OCD=180°-∠OCF=90°，$?
∴ 四邊形?$OCDH$?為矩形，
?$∴ OH=DC=2，DH=OC=r，$?
?$∴ EH=DH-DE=r-1，$?
?$∴ AH=r-1. $?
∵ 在?$Rt△AHO$?中?$，OH2+AH2=OA2， $?
?$∴ 22+(r-1)2=r2，$?
解得?$r=2.5，$?
?$∴ ⊙O$?的半徑是?$2.5$
?
