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CE=CF

$AF=\sqrt{2} DE $

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$解:如圖①，連接CG，$

$∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，\ $

$∴四邊形ABCD是矩形，$

$∴∠ECF=90°，$

$同(1)可得CE=CF，$

$∴△ECF是等腰直角三角形，$

$∴∠CEF=∠F=45°，$

$∴ ∠AEB=∠CEF=45°.$

$又∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，$

$∴∠AEB=∠BAE=45°，$

$∴AB=BE.\ $

$∵矩形ABCD中，AB=CD，$

$∴DC=BE.$

$∵等腰直角△ECF中，G是EF的中點，$

$∴CG=EG=GF，CG⊥EF，$

$∴∠ECG=45°，$

$∴∠GCD=∠ECG+∠BCD=135°.$

$又∵∠GEB=180°-∠BEA=135°，$

$∴∠GCD=∠CEB.$

$在△GCD和△GEB中，$

$\begin{cases}{GC=GE,\ }\ \\ {\ ∠GCD=∠GEB, } \\{DC=BE,}\end{cases}\ $

$∴△GCD≌△GEB(SAS).$

$∴∠DGC=∠BGE，DG=BG，$

$∴∠DGE+∠BGE=∠DGE+∠DGC，$

$∴∠DGB=∠CGE=90°，$

$∴△BDG是等腰直角三角形.$

$解:如圖②，連接DH，$

$∵四邊形ABCD是平行四邊形，$

$∴AD//BC， AB//DC.$

$∵FH//BC，$

$∴FH//AD，$

$∴四邊形ADFH是平行四邊形.\ $

$∵∠ABC=120°，$

$∴∠BAD=180°-∠ABC=60°，$

$∠ADC=∠ABC=120°.$

$∵AF平分∠BAD，$

$∴∠DAF=30°，$

$∴∠DFA=180°-∠ADF-∠DAF=30°=∠DAF，$

$∴DA=DF，$

$∴四邊形ADFH是菱形.\ $

$∴∠ADH=∠FDH=\frac{1}{2}∠ADF=60°，$

$AD=AH=DF=HF，$

$∴△ADH和△FDH是全等的等邊三角形，$

$∴DH=DF，∠BHD=∠KFD=60°.\ $

$∵FK=FC，BH=FC，$

$∴ BH=FK.$

$在△BHD 和△KFD 中，$

$\begin{cases}{DH=DF,\ }\ \\ {∠BHD=∠KFD,\ }\\{BH=KF,} \end{cases}\ $

$∴△BHD≌△KFD(SAS)，$

$∴∠BDH=∠KDF，$

$∴∠BDK=∠BDH+∠HDK=∠KDF+∠HDK=∠ HDF=60°.$

$解:①AF=\sqrt{2} DE\ $

$②若點E在其他位置時，如圖①，延長BC，作DG//AF，交BC的延長線于點G，連接EG.$

$∵四邊形ABCD是正方形，$

$∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD，AD//BC.\ $

$∵DG//AF，AD//BC，$

$∴四邊形AFGD為平行四邊形.\ $

$∴AF=DG，AD=FG.$

$∴FG=CD.\ $

$∵∠ABC=90°，AB=BC，$

$∴∠ACB=45°，\ $

$∴∠ACD=45°.$

$∵EF⊥AC，$

$∴∠FEC=90°，$

$∴∠EFC=∠ECF=45°，$

$∴EF=EC，∠EFC=∠ECD.\ $

$∴△CDE≌△FGE(SAS)，$

$∴ED=EG，∠FEG=∠CED，\ $

$∴∠DEG=∠FEC=90°，$

$∴△DEG是等腰直角三角形，$

$∴DG2=DE2+EG2=2DE2，\ $

$∴DG=\sqrt{2}DE，$

$∴AF=\sqrt{2}DE.$

$解:如圖②，作DG⊥DE，并截取DG=DE，連接AG、GE.$

$∵四邊形ABCD是正方形，$

$∴∠ADC=90°，CD=AD，∠DAC=∠ DCA=∠ACB=45°.$

$∵DG⊥DE，$

$∴∠GDE=90°.\ $

$又∵DG=DE，$

$∴△DEG是等腰直角三角形，$

$∴EG2=DE2+DG2=2DE2，$

$∴EG=\sqrt{2}DE.\ $

$∵∠ADC=∠GDE=90°，$

$∴∠GDA=∠EDC，$

$∴△GDA≌△EDC(SAS)，$

$∴∠GAD=∠ECD=45°，AG=EC，$

$∴∠GAE=90°.\ $

$∵EF⊥AC，$

$∴∠FEC=∠FEA=90°，\ $

$∴∠EFC=∠ECF=45°，$

$∴EF=EC，$

$∴EF=AG.$

$∵∠GAE=∠FEA=90°，$

$∴AG//EF，$

$∴四邊形AGEF為平行四邊形，\ $

$∴AF=EG，$

$∴AF=\sqrt{2} DE.$

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