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①③

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$解:連接DE，BD⊥AE，∠BAE=45°，$

$∴∠ABD=45°.\ $

$由題意可得，AC=2AD，BC=2BE，DE是△ABC的中位線，$

$∴DE//AB，$

$∴∠AED=∠BAE=∠ABD=∠EDB=45°，$

$∴OD=OE，OA=OB.\ $

$又∵∠AOD=∠BOE=90°，$

$∴△AOD≌△BOE(SAS)，$

$∴AD=BE，$

$∴AC=BC，$

$∴△ABC是等腰三角形.$

$解:連接DE，$

$∵AE、BD分別是邊BC、AC上的中線，$

$∴AC=2AD，BC=2BE，DE=\frac{1}{2}AB，$

$∴AC2=4AD2，BC2=4BE2，DE2=\frac{1}{4}AB2.\ $

$在Rt△AOD中，AD2=OD2+OA2，$

$在Rt△BOE中，BE2=OB2+OE2，$

$同理可得DE2=OD2+OE2，$

$AB2=OA2+OB2，$

$∴AC2+BC2=4(AD2+BE2)=4(OA2+OD2+OB2+OB2)=4(AB2+DE2)=4(AB2+\frac{1}{4}AB2 )=5AB2.$

$解:如圖，連接MN，$

$∵點M、N分別是OA、OD的中點，$

$∴MN是 △AOD的中位線，$

$∴MN//AD，且MN=\frac{1}{2}AD.\ $

$∵四邊形ABCD是菱形，$

$∴CM⊥BN，AD=BC，且AD//BC，$

$∴MN//BC，MN=\frac{1}{2}BC.$

$如圖，延長MN至K，使MN=\frac{1}{2}MK，$

$∴MK=BC.$

$又MK//BC，$

$∴四邊形BMKC為平行四邊形，$

$∴BM//CK，EM=CK，$

$∴∠E=∠KCN.$

$又∠ENM=∠ CNK，MN=KN，$

$∴△EMN≌△CKN，$

$∴EM=CK，EN=CN，$

$∴EM=MB，$

$∴CM，BN是△BCE的中線且CM⊥BN，$

$∴△BCE是中垂三角形.\ $

$解:∵點B(2，1.5)是某比例系數(shù)為8的反比例函數(shù)的“伴隨矩形"ABCD的頂點，$

$∴A(2，4)，C(\frac{16}{3}，\frac{3}{2})，$

$∴D(\frac{16}{3}，4).$

$設(shè)直線BD的表達式為y=ax+b，$

$則\begin{cases}{2a+b=1.5,\ }\ \\ { \dfrac {16}{3}a+b=4, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ a= \dfrac {3}{4},}\ \\ { b=0, } \end{cases}\ $

$∴直線BD的表達式為y=\frac {3}{4}x.$

$解:∵A、C在反比例函數(shù)y=\frac{k}{x}(k≠0)上，$

$設(shè)A(m，\frac{k}{m})，C(n， \frac{k}{n})，$

$則B(m， \frac{k}{n})，D(n，\frac{k}{m}).$

$設(shè)直線BD的表達式為y=cx+d.$

$則 \begin{cases}{\ \dfrac{k}{m}=cn+d,}\ \\ {\ \dfrac{k}{n}=cm+d, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{\ c=\dfrac{k}{mn}, }\ \\ {d=0,\ } \end{cases}\ $

$即y=\frac {k}{mn}x，$

$∴直線BD過原點.$

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