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$證明:(1)∵四邊形ABCO是平行四邊形，$

$∴AB//OC，∴∠BAO=∠AOF，$

$由旋轉(zhuǎn)可知，∠BAO=∠OAF，AO=AF，$

$∴∠OAF=∠AOF，即AF=OF.$

$∵AO=AF，∴AF=OF=AO，$

$∴△AOF是等邊三角形.\ $

$由題可知AB=CO=AD=4，$

$∵AD經(jīng)過點O，點A、D在反比例函數(shù)$

$y=\frac{k}{x}的圖像上，由反比例函數(shù)的$

$中心對稱性，可得OA=OD=2，$

$過點A作x軸的垂線，垂足為H，$

$∵△AOF是等邊三角形，$

$∴OH=1，AH=\sqrt{3}，∴A(1，\sqrt {3} )，$

$∴k=\sqrt {3} .$

$解:(2)a= \frac{k}{x_{1}} ，b= \frac{k}{x_{2}} ，$

$∴m2= \frac{\frac{k}{x_{1}}+ \ \frac{k}{x_{2}}}{2k}= \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} ，$

$∴m2 -n2 = \frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}} -\frac{2}{x_{1}+x_{2}} = \frac{(x_{1}-x_{2})2}{2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})} \gt 0，$

$∴m\gt n\gt 0.$

$∵當(dāng)x\gt 0時，y隨x增大而減小，\ $

$\ ∴y_{1}\lt y_{2}.$

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$解:①∵一次函數(shù)y=x+b的圖像與反比例函數(shù)y=\frac{k}{x}的圖像交于 B(2，6)，$

$將B(2，6)分別代入y=x+b，y=\frac{k}{x}，$

$解得b=4，k=12，$

$∴y=x+4，y=\frac{12}{x} .$

$②設(shè)P(0，m)，則S_{△BCP} =\frac{1}{2}|PC|·x_{B} =5，$

$∵y=x+4，令x=0，$

$則y=4，即C(0，4)，$

$∴PC=|m-4|，即\frac{1}{2} |m-4|×2=5，$

$解得m=9或-1，$

$∴點P的坐標(biāo)為(0，9)或(0，-1).$

$解:∵一次函數(shù)y=x+b，$

$∴∠BAD=45°，A(-b，0).$

$∵過點B作BD⊥ x軸于點D，$

$∴△ABD是等腰直角三角形，$

$∴AD=BD.$

$∵一次函數(shù)y=x+b的圖像與反比例函數(shù)y=\frac{k}{x}(x＞0)的圖像交于點B，$

$∴設(shè)B(m，m+b)，則k=m(m+b)，$

$∴AD=BD=m+b.$

$∵點E為AB的中點，$

$∴∠ADE=∠BDE=45°，$

$∴△DOF是等腰直角三角形，$

$∴OF=OD=m.$

$∵△AFD的面積為11，$

$∴\frac{1}{2}AD·OF=11，$

$即\frac{1}{2}(m+b)·m=11，$

$∴k=m(m+b)=22.$

$解:將A(m，6)代入y=x+8得6=m+8，$

$解得m=-2，\ $

$∴A(-2，6)，同理可得點B的坐標(biāo)為(-6，2).$

$將A(-2，6)代入y=\frac{k}{x}得k=xy=-12，$

$∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-\frac{12}{x}.$

$解:作點A關(guān)于y軸的對稱點A'(2，6)，連接A'B交y軸于點P，連接 AP，如圖①，此時 AP+ BP 的值最小，\ $

$∵ A' B =\sqrt{[2-(-6)]2+(6-2)2}=4\sqrt {5} ，$

$AP=A'P，$

$∴AP+BP的最小值為4\sqrt {5} .$

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