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$解:∵a、b、c是正數(shù)，且滿足a+b+c=9，$

$∴a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，$

$∴原式=\frac {9-b-c}{b+c}\frac {9-a-b}{c+a}+\frac {9-a-b}{a+b}$

$=\frac{9}{b+c}+\frac{9}{c+a}+\frac{9}{a+b}-3$

$=9×\frac{10}{9}-3=7.$

$\frac{1}{13} $

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12

$\frac{1}{11} $

$\sqrt {5}\ $

3或-7

$\frac{1}{5} $

$-\frac{10}{7} $

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$解:原式=( \frac{a^{3} -a}{a2-1}- \frac{a2}{a2-1}) ÷\frac {a2 }{a2-1}$

$=\frac{a(a2-a-1)}{a2-1}· \frac{a2-1}{a2}\ $

$=\frac{a2-a-1}{a}.$

$∵ a2≠0，a2-1≠0，$

$∴a≠0，a≠±1.$

$∵ \sqrt{4}=2＜\sqrt {5} ＜\sqrt {9} =3，$

$∴-1＜a＜\sqrt {5} 的整數(shù)解有0,1,2.$

$∵a≠0，a≠±1，$

$∴a=2，$

$原式=\frac{22-2-1}{2}=\frac{1}{2}.$

$ \begin{aligned} 解:原式&=[\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac {2x}{x(x+1)}] ÷\frac {2x(1-x)}{(x+1)2} \\ &=\frac{1-x}{x(x+1)}· \frac{(x+1)2}{2x(1-x)} \\ &=\frac{x+1}{2x2} . \\ ∵x2-x-1&=0， \\ \end{aligned}$

$∴x+1=x2，$

$∴\frac{x+1}{2x2}=\frac{x2}{2x2} =\frac{1}{2}.$

$解:將已知的三個(gè)分式分別取倒數(shù)，$

$得\frac{a+b}{ab}=3，$

$\frac{b+c}{bc}=4，$

$\frac{c+a}{ca}=5，$

$即\frac{1}{a}+ \frac{1}=3，$

$\frac {1}+\frac {1}{c}=4，$

$\frac {1}{c}+\frac {1}{a}=5，$

$將以上三式相加并整理，$

$得\frac{1}{a} +\frac{1}+\frac{1}{c}=6，$

$通分，得\frac {ab+bc+ca}{abc}=6，$

$即\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{6}.$

$解:設(shè)\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}=k，\ $

$則b+c=ka ①，$

$a+c=kb ②，$

$a+b=kc ③.\ $

$①+②+③得，$

$2(a+b+c)=k(a+b+c)，\ $

$若a+b+c≠0，則k=2，\ $

$∴\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=\frac{kc·ka·kb}{abc}=k^{3} =8；\ $

$若a+b+c=0，$

$則a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，\ $

$∴\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} =\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.$

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