$解:猜想:DN-BM=MN.\ $
$證明:如圖②,在線段DN上截取DQ=BM,連接AQ.$
$在△ADQ和△ABM中.$
$\begin{cases}{\ AD=AB, }\ \\ {\ ∠ADQ=∠ABM, } \\{DQ=BM,}\end{cases}\ $
$∴△ADQ≌△ABM(SAS).$
$∴ ∠DAQ =∠BAM,AQ=AM,$
$∴ ∠QAN= ∠MAN.$
$在△AMN和△AQN 中,$
$\begin{cases}{\ AM=AQ ,}\ \\ {\ ∠MAN=∠QAN,} \\{AN=AN,}\end{cases}\ $
$∴△AMN≌△AQN(SAS),$
$∴MN=QN,$
$∴DN-DQ=QN,$
$∴DN-BM=MN.$