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AE=DF

$\frac{n-1}{4} cm2 $

$證明:(1)∵四邊形ABCD$

$是正方形，$

$∴OA =OB，∠DAO=45°，$

$∠OBA = 45°，$

$∴∠OA M=∠OBN =135°.$

$∵ ∠EOF=90°，∠AOB=90°，$

$∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN (A SA )，$

$∴OM=ON，△OMN是等腰直角三角形.$

$解:(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，$

$∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴OH=HA=1.$

$∵OE=EM，∴HM=2，$

$∴OM=ON= \sqrt{22+12}=\sqrt{5}，$

$∴MN=\sqrt {5+5} = \sqrt{10}.$

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$證明:如圖①，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，則四邊形ABME為矩形，則AB=EM，$

$在正方形ABCD中，AB=BC，$

$∴EM=BC.$

$∵EM⊥BC，\ $

$∴∠MEF+∠EFM=90°.$

$∵BG⊥EF，$

$∴∠CBG+∠EFM=90°，$

$∴∠CBG=∠MEF，$

$在△BCG和△EMF中，$

$\begin{cases}{ ∠CBG=∠MEF, }\ \\ { BC=EM, }\\{∠C=∠EMF,} \end{cases}\ $

$∴△BCG≌△EMF(ASA)，$

$∴EF=BG.$

$解:如圖②，連接MN，$

$∵M(jìn)、N關(guān)于EF對(duì)稱，$

$∴MN⊥EF，過(guò)點(diǎn)E作 EH⊥BC于點(diǎn)H，$

$過(guò)點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，$

$則EH⊥MG，$

$由(2)同理可得△EHF≌△MGN，$

$∴NG=HF.$

$∵AE=2，BF=4，$

$∴NG=HF=4-2=2.$

$又∵GC=MB=1，$

$∴NC=NG+CG=2+1=3.\ $

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