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解：?$(1) $?是矩形，理由是：

∵?$\triangle A O B $?是等邊三角形

∴?$O A=O B$?

又 ∵四邊形?$ A B C D $?是平行四邊形

∴?$O A=O C，$??$ O B= O D$?

∴?$O A=O C=O B=O D$?

∴?$O A+O C=O B+O D ，$? 即?$ A C=B D$?

∴?$? A B C D $?是矩形

?$ (2) $?∵?$△AOB$?是等邊三角形

∴?$AB=AO=4$?

∴?$AC=2AO=8$?

∴?$BC=\sqrt {AC^2-AB^2}=4\sqrt 3\ \mathrm {cm}$?

∴?$S_{?ABCD}=AB ·BC=4×4\sqrt 3=16 \sqrt 3\ \mathrm {cm^2}$?

解：由題意得，?$BP=2t\ \mathrm {cm}，$??$DQ=t\ \mathrm {cm}$?

∴?$AQ=(10-t)\ \mathrm {cm}$?

若四邊形?$ABPQ$?是矩形

則有?$AQ=BP，$?即?$10-t=2t$?

∴?$t=\frac {10}3s$?

證明：連接?$ A C 、$??$ B D ，$? 設(shè)?$ A C 、$??$ B D $?相交于點(diǎn)?$ O ，$? 連接?$ O E $?

在?$ Rt \triangle A C E $?中，?$ O $?是斜邊?$ A C $?的中點(diǎn)

∴?$ O A=O E=O C $?

同理，在?$Rt \triangle B E D $?中，?$ O B=O E=O D$?

∴?$O A=O B=O C=O D$?

∴?$O A+O C=O B+ O D ，$? 即?$ A C=B D$?

∴?$?A B C D $?是矩形

證明：∵?$AB∥CD，$?

∴?$∠AEF+∠CFE=180°.$?

∵?$EG $?平分?$∠AEF，$??$FG $?平分?$∠CFE，$??$EH$?平分?$∠FEB，$?

∴?$∠GEF=\frac 12∠AEF，$??$∠EFG=\frac 12∠CFE，$??$∠HEF=\frac 12∠FEB.$?

∵?$∠AEF+∠CFE=180°，$??$∠GEF=\frac 12∠AEF，$??$∠EFG=\frac 12∠CFE，$?

∴?$∠GEF+∠EFG=90°，$?

∴?$∠EGF=90°，$?

同理可得?$∠EHF=90°，$??$∠GEH=90°.$?

∵?$∠EGF=90°，$??$∠GEH=90°，$??$∠EHF=90°，$?

∴四邊形?$EGFH$?是矩形.

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