證明??$：(1)$??因?yàn)樗倪呅??$ABCD$??是矩形
所以??$∠A=∠ADC=∠B=∠C= 90°， AB= CD ，$??
由折疊得??$： AB= PD，∠A=∠P= 90°，$????$∠B=∠PDF= 90° $??
所以??$PD= CD，$??
因?yàn)??$∠PDF=∠ADC$??
所以??$∠PDE=∠CDF ，$??
在??$△PDE$??和??$△CDF $??中,
??$\begin {cases}{∠P=∠C }\\{PD=CD} \\{∠PDE=∠CDF} \end {cases}$??
所以??$△PDE≌△CDF (\mathrm {ASA}) ； $??
??$(2)$??如圖,過(guò)點(diǎn)??$E$??作??$EG⊥BC$??于??$G，$??
所以??$∠EGF= 90°，EG= CD=4，$??
在??$Rt△EGF$??中，由勾股定理得??$： FG=\sqrt {52-42}=3，$??
設(shè)??$CF=x，$??由??$(1)$??知??$： PE= AE= BG= x，$??
因?yàn)??$AD∥BC$??
所以??$∠DEF=∠BFE，$??
由折疊得??$：∠BFE= ∠DFE$??
所以??$∠DEF= ∠DFE$??
所以??$DE= DF=x+ 3 ，$??
在??$Rt△CDF$??中,由勾股定理得??$： DF2=CD2+CF2$??
所以??$x2+42=(x+3)2$??
所以??$x=\frac {7}{6}$??
所以??$BC= 2x +3=\frac {7}{3}+3=\frac {16}{3}$??
