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證明?$： (1)$?因為?$△OAD$?是等腰三角形

所以?$OA=AD，$??$∠OAD=90°$?

因為點?$E$?為矩形的對角線交點

所以點?$E$?是?$BD$?的中點

因為?$OB=OD$?

所以?$OE⊥BD$?

所以?$∠OED=90°$?

因為?$∠OFA=∠DFE，∠OAD=∠DEF$?

所以?$∠FOA=∠FDE$?

在?$△OAF $?和?$△DAB$?中

?$\begin {cases}{∠FOA=∠FDE}\\{AO=AD} \\{∠OAF=∠DAB} \end {cases}$?

所以?$△OAF≌△DAB(\mathrm {ASA})$?

?$(2)$?連接?$BF$?

因為?$△OAF≌△DAB$?

所以?$AF= AB$?

所以?$△ABF$?為等腰直角三角形

因為?$OE$?為線段?$BD$?的垂直平分線

所以?$BF=DF$?

所以?$\frac {DF}{AF}=\frac {BF}{AF}=\sqrt {2}$?

證明:因為?$∠BAD=∠CAE$?

所以?$∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC$?

所以?$∠CAD=∠BAE$?

在?$△AEB$?和?$△ADC$?中

?$\begin {cases}{AE=AD }\\{∠BAE=∠CAD} \\{AB=AC} \end {cases}$?

所以?$△AEB≌△ADC(\mathrm {SAS})$?

所以?$BE=CD，$??$ ∠BEA=∠CDA$?

因為?$DE=BC$?

所以四邊形?$BCDE$?是平行四邊形

所以?$∠BED+∠EDC= 180°$?

因為?$∠BEA=∠CDA，$??$ ∠AED=∠ADE$?

所以?$∠BED=∠EDC$?

所以?$∠BED=∠EDC=90°$?

所以平行四邊形?$BCDE$?是矩形

解：?$ (1)\ \mathrm {EO}=FO，$?理由:

因為?$MN//BC$?

所以?$∠OEC=∠BCE，$??$ ∠OFC=∠GCF$?

因為?$CE$?平分?$∠BCO，$??$CF $?平分?$∠GCO$?

所以?$∠OCE=∠BCE，$??$∠OCF=∠GCF$?

所以?$∠OCE=∠OEC，$??$ ∠OCF=∠OFC$?

所以?$EO=CO，$??$FO=CO$?

所以?$EO=FO$?

?$(2)$?當(dāng)點?$O$?運(yùn)動到?$AC$?的中點時，四邊形?$AECF$?是矩形

因為當(dāng)點?$O$?運(yùn)動到?$AC$?的中點時，?$AO=CO$?

又因為?$EO=FO$?

所以四邊形?$AECF$?是平行四邊形

因為?$FO=CO$?

所以?$AO=CO=EO=FO$?

所以?$AO+CO=EO+FO$?

即?$AC=EF$?

所以四邊形?$AECF$?是矩形

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