解：?$(1)$?∵?$AD=AB $?
∴?$∠D=∠DBA$?
∴?$∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D=30°$?
∴?$∠D=15°，$??$∠DBC=90°-∠D=90°-15°=75°$?
?$(2)$?設(shè)?$BC=x，$?則?$AC=\sqrt 3x，$??$AD=AB=2x，$??$DC=AD+AC=2x+\sqrt 3x$?
∴?$tan D=\frac {BC}{DC}=\frac {x}{2x+\sqrt 3x}=2-\sqrt 3，$??$tan ∠DBC=\frac {DC}{BC}=\frac {2x+\sqrt 3x}{x}=2+\sqrt 3$?
?$(3)$?如圖，?$∠C=90°，$??$∠BAC=45°，$??$AD=AB$?
則?$∠D=∠DBA，$??$∠BAC=∠D+∠DBA=2∠D=45°$?
∴?$∠D=22.5°$?
設(shè)?$BC=x，$?則?$AC=x，$??$AD+AB=\sqrt 2x，$??$DC=\sqrt 2x+x$?
∴?$tan D=\frac {BC}{DC}=\frac x{\sqrt 2x+x}=\sqrt 2-1$?
即?$tan 22.5°=\sqrt 2-1$?
