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第116頁

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解：設(shè)正方形?$A_nB_nC_nD_n$?的邊長為?$a_n$?

則?$a_n^2=a^2_{n-1}+(2a_{n-1})^2=5a^2_{n-1}$?

∵?$a^2_1=1$?

∴?$a_{2}^2=5，$??$a_{3}^2=5^2，$??$a_{4}^2=5^3···$?

∴?$a^2_n=5^{n-1}，$?即正方形?$A_nB_nC_nD_n$?的面積是?$5^{n-1}$?

解：?$(1)$?由題意得?$∠EMB=∠A=90°，$??$EM=AE$?

∴?$△DME∽△CGM，$??$DM+DE+EM=\frac 12+1=\frac 32$?

設(shè)?$DE=x，$?由?$DE^2+DM^2=EM^2$?

得?$x^2+(\frac 12)^2=(1-x)^2$?

解得?$x=\frac 38$?

∴?$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 12}{\frac 38}=\frac 43$?

∴?$CM+CG+MG=\frac 32×\frac 43=2$?

?$(2)DM+DE+EM=\frac 13+1=\frac 43$?

設(shè)?$DE=y，$?由?$DE^2+DM^2=EM^2$?

得?$y^2+(\frac 13)^2=(1-y)^2，$?解得?$y=\frac 49$?

∴?$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 23}{\frac 49}=\frac 32$?

∴?$CM+CG+MG=\frac 43×\frac 32=2$?

?$(3)$?猜想點?$M$?在?$CD$?邊上，?$CM+CG+MG=2$?總成立

證明：設(shè)?$DM=a，$??$DE=b，$?則?$DM+DE+EN=1+a$?

由?$DE^2+DM^2=EM^2，$?得?$a^2+b^2=(1-b)^2，$?即?$1-a^2=2b$?

∴?$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {1-a}b$?

∴?$CM+CG+MG=(1+a) · \frac {1-a}b=\frac {1-a^2}b=\frac {2b}b=2，$?猜想得證