證明：??$(1)$??∵??$∠BCA=∠CAD，$??
∴??$AD// BC$??
在??$△AOD$??和??$△COB$??中，
??$ \begin{cases}{∠BCA=∠CAD }\\{AO=CO} \\{∠AOD=∠COB} \end{cases}$??
∴??$△AOD≌△COB(\mathrm {ASA})$??
∴??$AD= BC $??
∴四邊形??$ABCD$??是平行四邊形.
??$ (2) $??連接??$DF.$??
∵四邊形??$ABCD$??是平行四邊形，
∴??$AD= BC= 15，$????$AB= CD，$????$AD // BC，$????$BD= 2OD，$??
??$ OA=OC=\frac 12AC=8$??
∵??$BD=2AB，$??
∴??$AB = OD.$??
∴??$DO=DC$??
∵點(diǎn)??$F $??是??$OC$??的中點(diǎn)，
∴??$OF=\frac 12OC=4，$????$DF⊥OC$??
∴??$AF=OA+OF= 12.$??
在??$Rt△AFD$??中，??$DF=\sqrt {AD2-AF2}=\sqrt {152-122}=9$??
∵點(diǎn)??$G $??是??$AD$??的中點(diǎn)，??$∠AFD=90°，$??
∴??$DG= FG=\frac 12AD=7.5$??
∵點(diǎn)??$E、$????$F $??分別是??$OB、$????$OC$??的中點(diǎn)，
∴??$EF $??是??$△OBC$??的中位線
∴??$EF=\frac 12BC=7.5，$????$EF // BC.$??
∴??$EF=DG，$????$EF //AD$??
∴四邊形??$GEFD$??是平行四邊形
∴??$GE=DF=9.$??
∴??$△EFG $??的周長??$=GE +GF+ EF=9+7.5+7.5=24$??
∴??$△EFG $??的周長為??$24.$??
