證明：?$(1)$?∵四邊形?$ABCD$?為正方形，
∴?$AB =AD=6，$??$∠DAB= 90°.$?
在?$Rt△ADE$?中，?$AD=6，$??$AE=AB+BE=6+2=8，$?
∴?$DE=\sqrt {6^2+8^2}=10$?
∵?$AF⊥DE，$?
∴?$\frac 12\ \mathrm {AF}×DE=\frac 12\ \mathrm {AD}×AE.$?
∴?$AF=\frac {6×8}{10}=4.8 $?
?$ (2)$?如圖，連接?$AC$?交?$DE$?于點(diǎn)?$P，$?連接?$PB.$?
∵四邊形?$ABCD$?為正方形，
∴?$AD=CD=CB，$??$∠BAD=∠ADC= 90°，$?
?$ ∠ADB=∠DCA=∠BCA=45°.$?
在?$△CBP $?和?$△CDP $?中，
?$ \begin{cases}{CB=CD }\\{∠BCP=∠DCP} \\{CP=CP} \end{cases}$?
∴?$△CBP≌△CDP(\mathrm {SAS})$?
∴?$PB = PD，$??$∠CBP =∠CDP.$?
∵?$∠NAB=∠ADE，$?
∴?$90°+∠NAB=90°-∠ADE，$?
即?$∠DAN =∠CDP.$?
在?$△DAN$?和?$△CDP $?中，
?$ \begin{cases}{∠ADN=∠DCP }\\{DA=CD} \\{∠DAN=∠CDP} \end{cases}$?
∴?$△DAN≌△CDP (\mathrm {ASA}).$?
∴?$AN=DP$?
∵?$∠CBP=∠CDP=∠DAN$?
∴?$EBP=∠MAN，$?
∵?$BP=DP，$??$DP=AN，$?
∴?$BP=AN.$?
在?$△BEP $?和?$△AMN$?中
?$ \begin{cases}{BP=AN }\\{∠EBP=∠MAN} \\{BE=AM} \end{cases}$?
∴?$△BEP≌△AMN(\mathrm {SAS})$?
∴?$EP= MN $?
∴?$DE=DP+EP=AN+MN.$?
