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第13頁

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?$(1)$?證明：∵?$BD⊥AC$?于點?$D，$??$DE⊥AB$?于點?$E$?

∴?$∠BDC=∠BED=90°$?

∵?$BD · DE=BE · CD$?

∴?$\frac {BD}{BE}=\frac {CD}{DE}$?

∴?$△BCD∽△BDE$?

?$(2)$?∵?$△BCD∽△BDE$?

∴?$∠EBD=∠DBC$?

∵?$BD⊥AC$?

∴?$CD=AD=6，$??$BA=BC=10$?

∵?$BD⊥AC$?

∴?$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=8$?

∵?$△BCD∽△BDE$?

∴?$\frac {BE}{BD}= \frac {BD}{BC} $?

∴?$\frac {BE}{8} =\frac {8}{10} $?

∴?$BE=\frac {32}{5}$?

∴?$AE=BA-BE=10- \frac {32}{5}= \frac {18}{5}$?

解：如圖，連接?$CF，$?分別交?$GN、$??$HM$?于點?$P、$??$Q$?

∵?$AF=BC=1$?米，?$∠A=∠B=90°$?

∴?$CF//AB$?

∴?$∠AFC=∠BCF=90°$?

∴四邊形?$ABCF $?是矩形

∵四邊形?$MNGH$?是矩形

∴?$∠HMN=∠MNG=90°，$??$MH=NG$?

∴?$∠HQF=∠GPC=90°，$??$MQ=AF=NP=BC=1$?米

∵?$∠BCG=∠AFH=135°$?

∴?$∠HFQ=∠GCP=45°$?

∴?$FQ=HQ，$??$CP=GP$?

∴?$FQ=HQ=MH-MQ=MH-1$?

同理可得，?$CP=MH-1$?

∴?$AM=NB=MH-1$?

∴?$MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH$?

∴?$S_{矩形MNGH}=MN · MH=(5-2MH) · MH=5MH-2MH$?

? $=-2(MH^2-\frac 52MH)=-2(MH-\frac {5}{4} )^2+ \frac {25}{8}$?

∴當(dāng)?$MH= \frac 54$?米時，矩形鐵皮?$MNGH$?的面積最大，最大面積為?$ \frac {25}{8} $?平方米

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